(1) 円 $x^2 + y^2 = 1$ 上の点 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ における接線と法線を求める。 (2) 平面 $Ax + By + Cz = D$ 上の点 $(p, q, r)$ (ただし、$Ap + Bq + Cr = D$) における接平面と法線を求める。 (3) 点 $(\frac{\sqrt{3}}{3}, 1)$ を通る円 $x^2 + y^2 = 1$ の接線を求める。 (4) 曲面 $z = xy$ 上の点 $(1, 1, 1)$ における接平面と法線を求める。

1. 問題の内容

(1) 円 $x^2 + y^2 = 1$ 上の点 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ における接線と法線を求める。

(2) 平面 $Ax + By + Cz = D$ 上の点 $(p, q, r)$ (ただし、$Ap + Bq + Cr = D$) における接平面と法線を求める。

(3) 点 $(\frac{\sqrt{3}}{3}, 1)$ を通る円 $x^2 + y^2 = 1$ の接線を求める。

(4) 曲面 $z = xy$ 上の点 $(1, 1, 1)$ における接平面と法線を求める。

2. 解き方の手順

(1)

円 $x^2 + y^2 = 1$ 上の点 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ における接線の方程式は、

$\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2}y = 1$

$\sqrt{3}x + y = 2$

法線は、点 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ を通り、接線に垂直な直線である。

円の中心 $(0,0)$ と点 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ を通る直線が法線になる。

$y = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}x = \frac{1}{\sqrt{3}}x$

$y = \frac{\sqrt{3}}{3}x$

(2)

平面 $Ax + By + Cz = D$ 上の点 $(p, q, r)$ における接平面は、もともとの平面と同じなので、

$Ax + By + Cz = D$

法線は、平面の法線ベクトル $\begin{pmatrix} A \\ B \\ C \end{pmatrix}$ に平行な、点 $(p, q, r)$ を通る直線である。

$\frac{x-p}{A} = \frac{y-q}{B} = \frac{z-r}{C}$

(3)

点 $(\frac{\sqrt{3}}{3}, 1)$ を通る円 $x^2 + y^2 = 1$ の接線を求める。

接点を $(x_0, y_0)$ とすると、接線の方程式は $x_0 x + y_0 y = 1$ である。

この接線が点 $(\frac{\sqrt{3}}{3}, 1)$ を通るので、

$x_0 \frac{\sqrt{3}}{3} + y_0 = 1$

$x_0 = \frac{3}{\sqrt{3}}(1 - y_0) = \sqrt{3}(1 - y_0)$

また、$(x_0, y_0)$ は円 $x^2 + y^2 = 1$ 上の点なので、

$(\sqrt{3}(1 - y_0))^2 + y_0^2 = 1$

$3(1 - 2y_0 + y_0^2) + y_0^2 = 1$

$3 - 6y_0 + 3y_0^2 + y_0^2 = 1$

$4y_0^2 - 6y_0 + 2 = 0$

$2y_0^2 - 3y_0 + 1 = 0$

$(2y_0 - 1)(y_0 - 1) = 0$

$y_0 = 1, \frac{1}{2}$

$y_0 = 1$ のとき、$x_0 = 0$

$y_0 = \frac{1}{2}$ のとき、$x_0 = \sqrt{3}(1 - \frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

よって、接線は $0x + 1y = 1$ すなわち $y = 1$ と、$\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2}y = 1$ すなわち $\sqrt{3}x + y = 2$

(4)

$z = xy$ より、$f(x, y, z) = xy - z = 0$

$(1, 1, 1)$ における接平面の方程式は、

$f_x(1, 1, 1)(x - 1) + f_y(1, 1, 1)(y - 1) + f_z(1, 1, 1)(z - 1) = 0$

$f_x = y, f_y = x, f_z = -1$ より、

$1(x - 1) + 1(y - 1) - 1(z - 1) = 0$

$x - 1 + y - 1 - z + 1 = 0$

$x + y - z = 1$

法線は、$\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 1}{-1}$

3. 最終的な答え

(1) 接線：$\sqrt{3}x + y = 2$, 法線：$y = \frac{\sqrt{3}}{3}x$

(2) 接平面：$Ax + By + Cz = D$, 法線：$\frac{x-p}{A} = \frac{y-q}{B} = \frac{z-r}{C}$

(3) 接線：$y = 1$, $\sqrt{3}x + y = 2$

(4) 接平面：$x + y - z = 1$, 法線：$\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 1}{-1}$