与えられた式 $\sqrt{9 + 4\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}}$ を簡単にせよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $\sqrt{9 + 4\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}}$ を簡単にせよ。

2. 解き方の手順

まず、内側の根号を外すことを目指します。$4 + 2\sqrt{3}$ を $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2$ の形に変形できるか考えます。

$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab}$ であるため、$a + b = 4$ かつ $ab = 3$ を満たす $a, b$ を探します。

$a = 3, b = 1$ が条件を満たします。よって、

$4 + 2\sqrt{3} = (\sqrt{3} + \sqrt{1})^2 = (\sqrt{3} + 1)^2$

したがって、

$\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2} = \sqrt{3} + 1$

次に、元の式の内側の根号を置き換えます。

$\sqrt{9 + 4\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}} = \sqrt{9 + 4(\sqrt{3} + 1)} = \sqrt{9 + 4\sqrt{3} + 4} = \sqrt{13 + 4\sqrt{3}}$

同様に、$13 + 4\sqrt{3}$ を $(\sqrt{c} + \sqrt{d})^2$ の形に変形できるか考えます。

$(\sqrt{c} + \sqrt{d})^2 = c + d + 2\sqrt{cd}$ であるため、$c + d = 13$ かつ $cd = 12$ を満たす $c, d$ を探します。

$c = 12, d = 1$ が条件を満たします。よって、

$13 + 4\sqrt{3} = 12 + 1 + 2\sqrt{12} = 12 + 1 + 2\sqrt{4 \cdot 3} = 12 + 1 + 4\sqrt{3}$

$(\sqrt{12}+\sqrt{1})^2 = (\sqrt{12}+1)^2 = (2\sqrt{3}+1)^2$となり,

$\sqrt{13 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{(2\sqrt{3} + 1)^2} = 2\sqrt{3} + 1$

$13+4\sqrt{3}=(2\sqrt{3})^2 + 1^2+2\cdot 2\sqrt{3}\cdot 1$

したがって、$\sqrt{13 + 4\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} + 1$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{3} + 1$