三角形ABCにおいて、$(b+c):(c+a):(a+b)=4:5:6$が与えられているとき、 (1) $\sin A:\sin B:\sin C$を求めよ。 (2) 角Aの値を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$(b+c):(c+a):(a+b)=4:5:6$が与えられているとき、

(1) $\sin A:\sin B:\sin C$を求めよ。

(2) 角Aの値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\sin A:\sin B:\sin C$を求める。

まず、$b+c=4k$, $c+a=5k$, $a+b=6k$ (kは正の定数)とおく。

これらの式を足し合わせると、

$2(a+b+c) = 15k$

$a+b+c = \frac{15}{2}k$

これより、

$a = (a+b+c) - (b+c) = \frac{15}{2}k - 4k = \frac{7}{2}k$

$b = (a+b+c) - (c+a) = \frac{15}{2}k - 5k = \frac{5}{2}k$

$c = (a+b+c) - (a+b) = \frac{15}{2}k - 6k = \frac{3}{2}k$

正弦定理より、$a:\sin A = b:\sin B = c:\sin C$だから、

$\sin A:\sin B:\sin C = a:b:c$

$\sin A:\sin B:\sin C = \frac{7}{2}k:\frac{5}{2}k:\frac{3}{2}k = 7:5:3$

(2) 角Aの値を求める。

余弦定理より、

$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

$\cos A = \frac{(\frac{5}{2}k)^2+(\frac{3}{2}k)^2-(\frac{7}{2}k)^2}{2(\frac{5}{2}k)(\frac{3}{2}k)}$

$\cos A = \frac{\frac{25}{4}k^2+\frac{9}{4}k^2-\frac{49}{4}k^2}{2(\frac{15}{4}k^2)}$

$\cos A = \frac{25+9-49}{2\times 15} = \frac{-15}{30} = -\frac{1}{2}$

$A = 120^\circ$

3. 最終的な答え

(1) $\sin A:\sin B:\sin C = 7:5:3$

(2) $A = 120^\circ$