問題は、以下の微分方程式を解くことです。 $m \frac{dv_x}{dt} = -F - \gamma v_x$ ここで、$m$ は質量、$v_x$ は速度、$t$ は時間、$F$ と $\gamma$ は定数です。

1. 問題の内容

問題は、以下の微分方程式を解くことです。

$m \frac{dv_x}{dt} = -F - \gamma v_x$

ここで、$m$ は質量、$v_x$ は速度、$t$ は時間、$F$ と $\gamma$ は定数です。

2. 解き方の手順

まず、微分方程式を書き換えます。

$m \frac{dv_x}{dt} + \gamma v_x = -F$

両辺を $m$ で割ります。

$\frac{dv_x}{dt} + \frac{\gamma}{m} v_x = -\frac{F}{m}$

これは1階線形微分方程式なので、積分因子 $\mu(t)$ を使って解くことができます。

積分因子は、以下の式で与えられます。

$\mu(t) = e^{\int \frac{\gamma}{m} dt} = e^{\frac{\gamma}{m}t}$

両辺に積分因子を掛けます。

$e^{\frac{\gamma}{m}t} \frac{dv_x}{dt} + \frac{\gamma}{m} e^{\frac{\gamma}{m}t} v_x = -\frac{F}{m} e^{\frac{\gamma}{m}t}$

左辺は、 $v_x e^{\frac{\gamma}{m}t}$ の時間微分なので、以下のように書き換えられます。

$\frac{d}{dt} (v_x e^{\frac{\gamma}{m}t}) = -\frac{F}{m} e^{\frac{\gamma}{m}t}$

両辺を時間で積分します。

$\int \frac{d}{dt} (v_x e^{\frac{\gamma}{m}t}) dt = \int -\frac{F}{m} e^{\frac{\gamma}{m}t} dt$

$v_x e^{\frac{\gamma}{m}t} = -\frac{F}{m} \frac{m}{\gamma} e^{\frac{\gamma}{m}t} + C$

ここで、$C$ は積分定数です。

$v_x e^{\frac{\gamma}{m}t} = -\frac{F}{\gamma} e^{\frac{\gamma}{m}t} + C$

両辺に $e^{-\frac{\gamma}{m}t}$ を掛けます。

$v_x = -\frac{F}{\gamma} + C e^{-\frac{\gamma}{m}t}$

3. 最終的な答え

したがって、微分方程式の解は、

$v_x(t) = -\frac{F}{\gamma} + C e^{-\frac{\gamma}{m}t}$

ここで、$C$ は初期条件によって決まる定数です。