正九角形の3つの頂点を結んで三角形を作る。 (1) 正九角形と1辺だけを共有する三角形の個数を求める。 (2) 正九角形と辺を共有しない三角形の個数を求める。

1. 問題の内容

正九角形の3つの頂点を結んで三角形を作る。

(1) 正九角形と1辺だけを共有する三角形の個数を求める。

(2) 正九角形と辺を共有しない三角形の個数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 正九角形と1辺だけを共有する三角形の個数

まず、正九角形の1つの辺を選ぶ。この辺を共有する三角形を作るには、残りの頂点を共有しない頂点から選ぶ必要がある。共有する辺の両隣の頂点と、選んだ辺の頂点以外の6個の頂点のうち、2つの頂点を選ぶ必要がある。

選んだ辺の両隣の頂点を選ぶことはできないので、選べる頂点は6個。

ただし、選んだ2つの頂点が隣り合っていると、正九角形の別の辺を共有してしまうので、隣り合う頂点のペアを除外する必要がある。

選んだ辺の両端の頂点を除いた6個の頂点のうち隣り合うペアは5組ある。

したがって、1つの辺に対して、三角形を作れる頂点の選び方は $6C2 - 5 = \frac{6 \times 5}{2} - 5 = 15 - 5 = 10$ 通り。

正九角形には9つの辺があるので、1辺だけを共有する三角形の総数は $10 \times 9 = 90$ 通り。

しかし、それぞれの三角形が2回数えられているものがあるため、2で割る必要はない。1つの辺を選んだとき、残りの頂点の選び方は10通りで正しい。

したがって、正九角形と1辺だけを共有する三角形は90個ではない。

正九角形の1つの辺を固定する。その両隣の頂点を除いた6個の頂点から1つ選ぶ。選び方は6通り。

また、正九角形には9つの辺があるので、$6 \times 9 = 54$個

一つの辺を選び、その辺を共有する三角形を作る。残りの1つの頂点を選ぶとき、選んだ辺の両端の頂点と隣り合う頂点は選べない。

したがって、正九角形と1辺だけを共有する三角形の個数は、$6 \times 9 = 54$個

（上記が間違っていたので、正九角形を描いて数えてみた。）

正九角形の頂点をA, B, C, D, E, F, G, H, Iとする。辺ABを共有する場合、CとIは選べないので、D, E, F, G, Hから1つ選ぶ。その選び方は５通り。

辺BCを共有する場合、DとAは選べないので、E, F, G, H, Iから1つ選ぶ。その選び方は５通り。

このように考えると、1辺を共有する場合の三角形の数は、5*9=45通り。

もう1つ頂点を選ぶ時に、隣り合う頂点を選ぶと辺を2つ共有することになる。例えばABを選んだ時、CとIは選べないが、残りの頂点の中から選ぶ。

例えばDを選ぶとABDという三角形ができる。

このとき、ADは正九角形の辺ではない。

選べる頂点は5個なので、1辺あたり5個できる。

したがって、正九角形と1辺だけを共有する三角形の個数は45個。

(2) 正九角形と辺を共有しない三角形の個数

正九角形の頂点から3つ選んで三角形を作る総数は、$9C3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = \frac{504}{6} = 84$個。

これから、1辺だけを共有する三角形の個数と2辺を共有する三角形の個数と3辺を共有する（正九角形の辺と完全に一致する）三角形の個数を引く。

2辺を共有する三角形は、正九角形の一つの頂点から2つ隣の頂点を選び、その2つに隣り合う頂点を加えることで作られる。

したがって、9個の頂点それぞれに対してそのような三角形が作れるので、2辺を共有する三角形は9個。

3辺を共有する三角形はない。

したがって、辺を共有しない三角形の個数は $84 - 45 - 9 = 30$個。

3. 最終的な答え

(1) 正九角形と1辺だけを共有する三角形は 45 個ある。

(2) 正九角形と辺を共有しない三角形は 30 個ある。