次の関数 $f(x)$ を積分する問題です。 (1) $f(x) = \frac{16}{x^2 \sqrt{x+4}}$ (2) $f(x) = \frac{x+2}{\sqrt[3]{x+1}+1}$

1. 問題の内容

次の関数 $f(x)$ を積分する問題です。

(1) $f(x) = \frac{16}{x^2 \sqrt{x+4}}$

(2) $f(x) = \frac{x+2}{\sqrt[3]{x+1}+1}$

2. 解き方の手順

(1)

置換積分を行います。$x+4 = t^2$ とおくと、$x = t^2 - 4$, $dx = 2t dt$ となります。

したがって、

$f(x) = \frac{16}{(t^2-4)^2 \sqrt{t^2}} = \frac{16}{(t^2-4)^2 t}$

$\int f(x) dx = \int \frac{16}{(t^2-4)^2 t} 2t dt = 32 \int \frac{1}{(t^2-4)^2} dt = 32 \int \frac{1}{(t-2)^2(t+2)^2} dt$

$\frac{1}{(t-2)^2 (t+2)^2} = \frac{A}{t-2} + \frac{B}{(t-2)^2} + \frac{C}{t+2} + \frac{D}{(t+2)^2}$とおき部分分数分解すると、

$\frac{1}{(t-2)^2 (t+2)^2} = \frac{1/16}{(t-2)^2} + \frac{1/16}{(t+2)^2} - \frac{1/32}{t-2} + \frac{1/32}{t+2}$

$32 \int \frac{1}{(t^2-4)^2} dt = 32 (\int \frac{1/16}{(t-2)^2} + \frac{1/16}{(t+2)^2} - \frac{1/32}{t-2} + \frac{1/32}{t+2} dt)$

$= 32 (\frac{-1/16}{t-2} - \frac{1/16}{t+2} - \frac{1}{32} \ln|t-2| + \frac{1}{32} \ln|t+2|) + C$

$= - \frac{2}{t-2} - \frac{2}{t+2} - \ln|t-2| + \ln|t+2| + C$

$= - \frac{2(t+2) + 2(t-2)}{t^2-4} + \ln \left| \frac{t+2}{t-2} \right| + C$

$= - \frac{4t}{t^2-4} + \ln \left| \frac{t+2}{t-2} \right| + C$

$= - \frac{4 \sqrt{x+4}}{x} + \ln \left| \frac{\sqrt{x+4}+2}{\sqrt{x+4}-2} \right| + C$

(2)

$x+1 = t^3$とおくと、$x = t^3 - 1$, $dx = 3t^2 dt$

$\int f(x) dx = \int \frac{t^3 - 1 + 2}{t+1} 3t^2 dt = \int \frac{t^3 + 1}{t+1} 3t^2 dt = \int \frac{(t+1)(t^2 - t + 1)}{t+1} 3t^2 dt$

$= \int 3t^2(t^2-t+1) dt = \int (3t^4 - 3t^3 + 3t^2) dt = \frac{3}{5}t^5 - \frac{3}{4} t^4 + t^3 + C$

$= \frac{3}{5}(x+1)^{5/3} - \frac{3}{4} (x+1)^{4/3} + x+1 + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int \frac{16}{x^2 \sqrt{x+4}} dx = - \frac{4 \sqrt{x+4}}{x} + \ln \left| \frac{\sqrt{x+4}+2}{\sqrt{x+4}-2} \right| + C$

(2) $\int \frac{x+2}{\sqrt[3]{x+1}+1} dx = \frac{3}{5}(x+1)^{5/3} - \frac{3}{4} (x+1)^{4/3} + x+1 + C$