与えられた実対称行列 $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ を直交行列によって対角化する。

1. 問題の内容

与えられた実対称行列

$A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

を直交行列によって対角化する。

2. 解き方の手順

(1) 固有値を求める:

特性方程式 $\det(A - \lambda I) = 0$ を解くことで固有値 $\lambda$ を求める。

$A - \lambda I = \begin{bmatrix} -\lambda & 0 & 1 \\ 0 & 1-\lambda & 0 \\ 1 & 0 & -\lambda \end{bmatrix}$

$\det(A - \lambda I) = (-\lambda)((1-\lambda)(-\lambda) - 0) - 0 + 1(0 - (1-\lambda)) = -\lambda^2(1-\lambda) - (1-\lambda) = (1-\lambda)(-\lambda^2 - 1) = - (1-\lambda)(\lambda^2 + 1) = - (\lambda - 1)(\lambda + 1)(\lambda)$

$\det(A - \lambda I) = - \lambda (\lambda - 1) (\lambda + 1)$

よって、固有値は $\lambda_1 = 1, \lambda_2 = 0, \lambda_3 = -1$

(2) 固有ベクトルを求める:

各固有値に対して、$(A - \lambda I)v = 0$ を満たす固有ベクトル $v$ を求める。

$\lambda_1 = 1$ のとき:

$(A - I)v = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$-x + z = 0 \implies x = z$

$v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ または $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ など、今回は$y$は任意なので$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$を選択

$\lambda_2 = 0$ のとき:

$(A - 0I)v = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$z = 0, y = 0, x = 0$

$v_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$

$\lambda_3 = -1$ のとき:

$(A + I)v = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$x + z = 0, y = 0 \implies z = -x$

$v_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}$

(3) 固有ベクトルを正規化する:

$||v_1|| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

$||v_2|| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1$

$||v_3|| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$

正規化された固有ベクトルは、

$u_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$, $u_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$, $u_3 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}$

(4) 直交行列 $P$ を作成する:

正規化された固有ベクトルを列ベクトルとして並べた行列が直交行列 $P$ となる。

$P = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & 1 & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$

(5) 対角化:

$P^{-1}AP = P^TAP = D$ （$D$ は対角行列）

$D = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

直交行列 $P = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & 1 & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$

対角行列 $D = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$