$\sqrt{\frac{240-3n}{2}}$ の値が整数となるような自然数 $n$ をすべて求めよ。

1. 問題の内容

$\sqrt{\frac{240-3n}{2}}$ の値が整数となるような自然数 $n$ をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

$\sqrt{\frac{240-3n}{2}} = k$ ( $k$ は整数) とおく。

両辺を2乗すると、

$\frac{240-3n}{2} = k^2$

$240-3n = 2k^2$

$3n = 240 - 2k^2$

$n = 80 - \frac{2}{3}k^2$

$n$ は自然数であるから、

(1) $k^2$ は3の倍数でなければならない。つまり、$k$ は3の倍数でなければならない。

(2) $80 - \frac{2}{3}k^2 > 0$ でなければならない。

(1)より、$k = 3l$ ($l$は整数) とおける。

$n = 80 - \frac{2}{3}(3l)^2$

$n = 80 - \frac{2}{3}(9l^2)$

$n = 80 - 6l^2$

(2)より、$80 - 6l^2 > 0$

$6l^2 < 80$

$l^2 < \frac{80}{6} = \frac{40}{3} = 13.33...$

$l^2$ は整数なので、$l^2 \leq 13$

$l$ は整数なので、$l = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3$

$l = 0$ のとき、$n = 80 - 6(0)^2 = 80$

$l = \pm 1$ のとき、$n = 80 - 6(1)^2 = 74$

$l = \pm 2$ のとき、$n = 80 - 6(4) = 80 - 24 = 56$

$l = \pm 3$ のとき、$n = 80 - 6(9) = 80 - 54 = 26$

3. 最終的な答え

$n = 26, 56, 74, 80$