(1) 定積分 $\int_{0}^{1} x^2 e^x dx$ を求めます。 (3) 定積分 $\int_{0}^{1} x(x-1)^4 dx$ を求めます。

はい、承知しました。与えられた定積分の問題を解いていきます。今回は、問題1と問題3を解きます。

1. 問題の内容

(1) 定積分 $\int_{0}^{1} x^2 e^x dx$ を求めます。

(3) 定積分 $\int_{0}^{1} x(x-1)^4 dx$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 定積分 $\int_{0}^{1} x^2 e^x dx$

部分積分を2回行います。まず、$u = x^2$、$dv = e^x dx$ とすると、$du = 2x dx$、$v = e^x$ となります。

$\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - \int 2x e^x dx$

次に、$\int 2x e^x dx$ を部分積分します。$u = 2x$、$dv = e^x dx$ とすると、$du = 2 dx$、$v = e^x$ となります。

$\int 2x e^x dx = 2x e^x - \int 2 e^x dx = 2x e^x - 2e^x$

したがって、

$\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - (2x e^x - 2e^x) = x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x$

定積分を計算します。

$\int_{0}^{1} x^2 e^x dx = [x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x]_{0}^{1} = (1^2 e^1 - 2(1) e^1 + 2e^1) - (0^2 e^0 - 2(0) e^0 + 2e^0) = (e - 2e + 2e) - (0 - 0 + 2) = e - 2$

(3) 定積分 $\int_{0}^{1} x(x-1)^4 dx$

$(x-1)^4$ を展開します。

$(x-1)^4 = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1$

したがって、

$x(x-1)^4 = x(x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1) = x^5 - 4x^4 + 6x^3 - 4x^2 + x$

定積分を計算します。

$\int_{0}^{1} x(x-1)^4 dx = \int_{0}^{1} (x^5 - 4x^4 + 6x^3 - 4x^2 + x) dx = [\frac{x^6}{6} - \frac{4x^5}{5} + \frac{6x^4}{4} - \frac{4x^3}{3} + \frac{x^2}{2}]_{0}^{1}$

$= (\frac{1}{6} - \frac{4}{5} + \frac{3}{2} - \frac{4}{3} + \frac{1}{2}) - (0) = \frac{1}{6} - \frac{4}{5} + \frac{3}{2} - \frac{4}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5 - 24 + 45 - 40 + 15}{30} = \frac{1}{30}$

3. 最終的な答え

(1) $\int_{0}^{1} x^2 e^x dx = e - 2$

(3) $\int_{0}^{1} x(x-1)^4 dx = \frac{1}{30}$