次の定積分を求めよ。 (1) $\int_{0}^{1} x^2 e^x dx$ (2) $\int_{1}^{2} (x-1)^2 e^x dx$ (3) $\int_{0}^{1} x(x-1)^4 dx$ (4) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 x dx$ (5) $\int_{1}^{2} (\log x)^3 dx$ (6) $\int_{1}^{2} \frac{\log x}{\sqrt{x}} dx$ (7) $\int_{0}^{1} x \tan^{-1} x dx$

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

次の定積分を求めよ。

(1) $\int_{0}^{1} x^2 e^x dx$

(2) $\int_{1}^{2} (x-1)^2 e^x dx$

(3) $\int_{0}^{1} x(x-1)^4 dx$

(4) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 x dx$

(5) $\int_{1}^{2} (\log x)^3 dx$

(6) $\int_{1}^{2} \frac{\log x}{\sqrt{x}} dx$

(7) $\int_{0}^{1} x \tan^{-1} x dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{0}^{1} x^2 e^x dx$

部分積分を2回用います。

$u = x^2, dv = e^x dx$ とすると、$du = 2x dx, v = e^x$ なので、

$\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - \int 2x e^x dx$

さらに、$\int 2x e^x dx$ を部分積分します。

$u = 2x, dv = e^x dx$ とすると、$du = 2 dx, v = e^x$ なので、

$\int 2x e^x dx = 2x e^x - \int 2 e^x dx = 2x e^x - 2e^x + C$

したがって、

$\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - (2x e^x - 2e^x) + C = x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x + C$

定積分は

$\int_{0}^{1} x^2 e^x dx = [x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x]_{0}^{1} = (e - 2e + 2e) - (0 - 0 + 2) = e - 2$

(2) $\int_{1}^{2} (x-1)^2 e^x dx$

変数変換 $t = x - 1$ とすると、$x = t + 1, dx = dt$ であり、積分範囲は $0$ から $1$ に変わります。

$\int_{1}^{2} (x-1)^2 e^x dx = \int_{0}^{1} t^2 e^{t+1} dt = e \int_{0}^{1} t^2 e^{t} dt$

(1)より、$\int_{0}^{1} t^2 e^t dt = e - 2$ なので、

$\int_{1}^{2} (x-1)^2 e^x dx = e(e-2) = e^2 - 2e$

(3) $\int_{0}^{1} x(x-1)^4 dx$

展開して積分します。

$(x-1)^4 = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1$

$x(x-1)^4 = x^5 - 4x^4 + 6x^3 - 4x^2 + x$

$\int_{0}^{1} x(x-1)^4 dx = \int_{0}^{1} (x^5 - 4x^4 + 6x^3 - 4x^2 + x) dx = [\frac{1}{6}x^6 - \frac{4}{5}x^5 + \frac{6}{4}x^4 - \frac{4}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2]_{0}^{1} = \frac{1}{6} - \frac{4}{5} + \frac{3}{2} - \frac{4}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5 - 24 + 45 - 40 + 15}{30} = \frac{1}{30}$

(4) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 x dx$

$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ より、

$\sin^4 x = (\frac{1 - \cos 2x}{2})^2 = \frac{1}{4} (1 - 2\cos 2x + \cos^2 2x) = \frac{1}{4}(1 - 2\cos 2x + \frac{1 + \cos 4x}{2}) = \frac{1}{8}(2 - 4\cos 2x + 1 + \cos 4x) = \frac{1}{8}(3 - 4\cos 2x + \cos 4x)$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 x dx = \frac{1}{8} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (3 - 4\cos 2x + \cos 4x) dx = \frac{1}{8} [3x - 2\sin 2x + \frac{1}{4}\sin 4x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{8} (\frac{3\pi}{2} - 0 + 0 - 0) = \frac{3\pi}{16}$

(5) $\int_{1}^{2} (\log x)^3 dx$

部分積分を繰り返します。

$u = (\log x)^3, dv = dx$ とすると、$du = 3(\log x)^2 \frac{1}{x} dx, v = x$ なので、

$\int (\log x)^3 dx = x(\log x)^3 - \int 3(\log x)^2 dx$

$u = 3(\log x)^2, dv = dx$ とすると、$du = 6(\log x) \frac{1}{x} dx, v = x$ なので、

$\int 3(\log x)^2 dx = 3x(\log x)^2 - \int 6\log x dx$

$u = 6\log x, dv = dx$ とすると、$du = \frac{6}{x} dx, v = x$ なので、

$\int 6\log x dx = 6x\log x - \int 6 dx = 6x\log x - 6x + C$

したがって、

$\int (\log x)^3 dx = x(\log x)^3 - 3x(\log x)^2 + 6x\log x - 6x + C$

$\int_{1}^{2} (\log x)^3 dx = [x(\log x)^3 - 3x(\log x)^2 + 6x\log x - 6x]_{1}^{2} = (2(\log 2)^3 - 6(\log 2)^2 + 12\log 2 - 12) - (0 - 0 + 0 - 6) = 2(\log 2)^3 - 6(\log 2)^2 + 12\log 2 - 6$

(6) $\int_{1}^{2} \frac{\log x}{\sqrt{x}} dx$

部分積分を行います。

$u = \log x, dv = \frac{1}{\sqrt{x}} dx = x^{-\frac{1}{2}} dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx, v = 2\sqrt{x}$ なので、

$\int \frac{\log x}{\sqrt{x}} dx = 2\sqrt{x} \log x - \int \frac{2\sqrt{x}}{x} dx = 2\sqrt{x} \log x - \int \frac{2}{\sqrt{x}} dx = 2\sqrt{x} \log x - 4\sqrt{x} + C$

$\int_{1}^{2} \frac{\log x}{\sqrt{x}} dx = [2\sqrt{x} \log x - 4\sqrt{x}]_{1}^{2} = (2\sqrt{2}\log 2 - 4\sqrt{2}) - (0 - 4) = 2\sqrt{2}\log 2 - 4\sqrt{2} + 4$

(7) $\int_{0}^{1} x \tan^{-1} x dx$

部分積分を行います。

$u = \tan^{-1} x, dv = x dx$ とすると、$du = \frac{1}{1+x^2} dx, v = \frac{1}{2}x^2$ なので、

$\int x \tan^{-1} x dx = \frac{1}{2}x^2 \tan^{-1} x - \int \frac{x^2}{2(1+x^2)} dx = \frac{1}{2}x^2 \tan^{-1} x - \frac{1}{2} \int \frac{x^2+1-1}{x^2+1} dx = \frac{1}{2}x^2 \tan^{-1} x - \frac{1}{2} \int (1 - \frac{1}{x^2+1}) dx = \frac{1}{2}x^2 \tan^{-1} x - \frac{1}{2} (x - \tan^{-1} x) + C = \frac{1}{2}x^2 \tan^{-1} x - \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\tan^{-1} x + C$

$\int_{0}^{1} x \tan^{-1} x dx = [\frac{1}{2}x^2 \tan^{-1} x - \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\tan^{-1} x]_{0}^{1} = (\frac{1}{2}\tan^{-1} 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\tan^{-1} 1) - (0 - 0 + 0) = \tan^{-1} 1 - \frac{1}{2} = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $e - 2$

(2) $e^2 - 2e$

(3) $\frac{1}{30}$

(4) $\frac{3\pi}{16}$

(5) $2(\log 2)^3 - 6(\log 2)^2 + 12\log 2 - 6$

(6) $2\sqrt{2}\log 2 - 4\sqrt{2} + 4$

(7) $\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$