三角形ABCにおいて、Aから辺BCに下ろした垂線をAHとする。AC = 10, $\cos C = \frac{3}{5}$であり、三角形の三辺の長さの和が36であるとき、以下の値を求める。 (1) $\sin C$ (2) 辺ABの長さ (3) 三角形ABCの面積

幾何学三角形三角比余弦定理面積
2025/7/19

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、Aから辺BCに下ろした垂線をAHとする。AC = 10, cosC=35\cos C = \frac{3}{5}であり、三角形の三辺の長さの和が36であるとき、以下の値を求める。
(1) sinC\sin C
(2) 辺ABの長さ
(3) 三角形ABCの面積

2. 解き方の手順

(1) sinC\sin Cを求める。
sin2C+cos2C=1\sin^2 C + \cos^2 C = 1の関係を用いる。
sin2C=1cos2C=1(35)2=1925=1625\sin^2 C = 1 - \cos^2 C = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}
0<C<π0 < C < \pi より、sinC>0\sin C > 0だから、
sinC=1625=45\sin C = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}
(2) 辺ABの長さを求める。
余弦定理より、AB2=AC2+BC22ACBCcosCAB^2 = AC^2 + BC^2 - 2AC \cdot BC \cdot \cos C
AC=10AC = 10, cosC=35\cos C = \frac{3}{5}であるから、AB2=100+BC2210BC35=100+BC212BCAB^2 = 100 + BC^2 - 2 \cdot 10 \cdot BC \cdot \frac{3}{5} = 100 + BC^2 - 12BC
また、AB + BC + AC = 36より、AB + BC + 10 = 36なので、AB + BC = 26。つまり、AB = 26 - BC。
これを代入して、
(26BC)2=100+BC212BC(26 - BC)^2 = 100 + BC^2 - 12BC
67652BC+BC2=100+BC212BC676 - 52BC + BC^2 = 100 + BC^2 - 12BC
576=40BC576 = 40BC
BC=57640=14410=14.4BC = \frac{576}{40} = \frac{144}{10} = 14.4
AB=26BC=2614.4=11.6AB = 26 - BC = 26 - 14.4 = 11.6
(3) 三角形ABCの面積を求める。
AH=ACsinC=1045=8AH = AC \sin C = 10 \cdot \frac{4}{5} = 8
面積 = 12BCAH=1214.48=14.44=57.6\frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot 14.4 \cdot 8 = 14.4 \cdot 4 = 57.6

3. 最終的な答え

(1) sinC=45\sin C = \frac{4}{5}
(2) 辺ABの長さ = 11.6
(3) 三角形ABCの面積 = 57.6

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