問題は、正三角形ABCとその外側にひし形ADEFがあり、指定された比率でADとDCが与えられたときに、三角形EDCの面積を求める問題です。具体的には、AD:DC = 3:2 であり、三角形ABCの面積が$25\sqrt{3} \, \text{cm}^2$のとき、三角形EDCの面積を求める必要があります。

1. 問題の内容

問題は、正三角形ABCとその外側にひし形ADEFがあり、指定された比率でADとDCが与えられたときに、三角形EDCの面積を求める問題です。具体的には、AD:DC = 3:2 であり、三角形ABCの面積が$25\sqrt{3} \, \text{cm}^2$のとき、三角形EDCの面積を求める必要があります。

2. 解き方の手順

(1) まず、正三角形ABCの1辺の長さを求めます。正三角形の面積の公式は、($\sqrt{3}/4$) * (一辺の長さ)^2 です。したがって、一辺の長さを$x$とすると、

$\frac{\sqrt{3}}{4} x^2 = 25\sqrt{3}$

$x^2 = 100$

$x = 10$

正三角形ABCの一辺の長さは10cmです。

(2) ADとDCの比が3:2なので、AD = (3/5) * AC = (3/5) * 10 = 6cm、DC = (2/5) * AC = (2/5) * 10 = 4cmとなります。

(3) ひし形ADEFはADを1辺とするので、AD = DE = EF = FA = 6cmです。

(4) 角ADE = 角DAF = 角EFA = 角FEDです。　ひし形の向かい合う角は等しいです。

(5) AF // BCなので、角DAF = 角ACB = 60度です。　正三角形の内角は60度です。

(6) 角ADE = 60度、DE = 6, DC = 4, 角EDC = 180 - 角ADE - 角BDC = 180-60-60=60度

(7) よって、三角形EDCの面積は、(1/2) * DE * DC * sin(EDC) = (1/2) * 6 * 4 * sin(60度) = (1/2) * 6 * 4 * ($\sqrt{3}/2$) = $6\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

三角形EDCの面積は$6\sqrt{3} \, \text{cm}^2$です。