図において、$\triangle ABC$ は正三角形であり、辺 $AC$ 上に点 $D$ がある。線分 $AD$ を一辺とするひし形 $ADEF$ が、 $AF // BC$ となるように $\triangle ABC$ の外側にある。点 $B$ と $D$, 点 $C$ と $E$, 点 $C$ と $F$ をそれぞれ結び、辺 $DE$ と線分 $CF$ の交点を $G$ とする。 (1) $\triangle ABD \equiv \triangle ACF$ を証明せよ。 (2) $AD : DC = 3:2$, $\triangle ABC = 25\sqrt{3} \text{ cm}^2$ のとき、$\triangle EDC$ の面積を求めよ。

はい、承知しました。問題文を読み解き、順番に回答します。

1. 問題の内容

図において、$\triangle ABC$ は正三角形であり、辺 $AC$ 上に点 $D$ がある。線分 $AD$ を一辺とするひし形 $ADEF$ が、 $AF // BC$ となるように $\triangle ABC$ の外側にある。点 $B$ と $D$, 点 $C$ と $E$, 点 $C$ と $F$ をそれぞれ結び、辺 $DE$ と線分 $CF$ の交点を $G$ とする。

(1) $\triangle ABD \equiv \triangle ACF$ を証明せよ。

(2) $AD : DC = 3:2$, $\triangle ABC = 25\sqrt{3} \text{ cm}^2$ のとき、$\triangle EDC$ の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ABD \equiv \triangle ACF$ の証明

$\triangle ABD$ と $\triangle ACF$ において、

仮定より、$\triangle ABC$ は正三角形なので、$AB = AC$。

また、ひし形 $ADEF$ の定義より、$AD = AF$。

$\angle BAD = \angle BAC - \angle DAC$

$\angle CAF = \angle DAF - \angle DAC$

$\angle BAC = 60^\circ$, $\angle DAF = \angle DAE + \angle EAF = \angle DAE + 60^\circ$

$\angle DAE$ はひし形の内角なので、$\angle DAE = 180^\circ - \angle ADF$。

$\angle ADF = \angle AFD$ であり、$AF // BC$ より、$\angle AFD = \angle ACB = 60^\circ$。

したがって、$\angle ADF = 60^\circ$ となり、$\angle DAE = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$。

$\angle DAF = \angle DAE + \angle EAF = 120^\circ - 60^\circ = 60^\circ$となる。

$\angle BAD = \angle BAC - \angle DAC = 60^\circ - \angle DAC$

$\angle CAF = \angle DAF + \angle DAC = 60^\circ + \angle DAC$

よって、$AF // BC$ の時、$\angle CAF = \angle BAD$ が成り立つ。

したがって、2 辺とその間の角がそれぞれ等しいので、$\triangle ABD \equiv \triangle ACF$ が証明された。

(2) $\triangle EDC$ の面積の計算

$\triangle ABC$ の面積が $25\sqrt{3} \text{ cm}^2$ なので、一辺の長さを $a$ とすると、

$\frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = 25\sqrt{3}$

$a^2 = 100$

$a = 10 \text{ cm}$

したがって、$AC = 10 \text{ cm}$ である。

$AD : DC = 3:2$ より、$AD = \frac{3}{5} AC = \frac{3}{5} \times 10 = 6 \text{ cm}$, $DC = \frac{2}{5} AC = \frac{2}{5} \times 10 = 4 \text{ cm}$。

$\triangle EDC$ は、$ED = AD = 6 \text{ cm}$, $DC = 4 \text{ cm}$ であり、$\angle EDC$ を求める。

$\angle ADC = 180^\circ$ より、$\angle ADE = 180^\circ - \angle EDC - \angle BDC$ であり、$ADEF$ がひし形なので、$\angle ADE = 120^\circ$

$AF//BC$なので、$\angle EDC = 60$°となる。

$\triangle EDC = \frac{1}{2} \times ED \times DC \times \sin{\angle EDC} = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 \times \sin{60^\circ} = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \text{ cm}^2$

3. 最終的な答え

(1) $\triangle ABD \equiv \triangle ACF$ （証明完了）

(2) $\triangle EDC$ の面積は $6\sqrt{3} \text{ cm}^2$