問題は以下の通りです。 図において、$\triangle ABC$ は正三角形であり、辺 $AC$ 上に点 $D$ があります。線分 $AD$ を一辺とする菱形 $ADEF$ が、$AF // BC$ となるように $\triangle ABC$ の外側に作られています。点 $B$ と点 $D$, 点 $C$ と点 $E$, 点 $C$ と点 $F$ がそれぞれ結ばれ、辺 $DE$ と線分 $CF$ の交点が $G$ となります。 (1) $\triangle ABD \equiv \triangle ACF$ を証明します。 (2) $AD:DC = 3:2$、$\triangle ABC = 25\sqrt{3} \text{cm}^2$ のとき、$\triangle EDC$ の面積を求めます。

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

図において、$\triangle ABC$ は正三角形であり、辺 $AC$ 上に点 $D$ があります。線分 $AD$ を一辺とする菱形 $ADEF$ が、$AF // BC$ となるように $\triangle ABC$ の外側に作られています。点 $B$ と点 $D$, 点 $C$ と点 $E$, 点 $C$ と点 $F$ がそれぞれ結ばれ、辺 $DE$ と線分 $CF$ の交点が $G$ となります。

(1) $\triangle ABD \equiv \triangle ACF$ を証明します。

(2) $AD:DC = 3:2$、$\triangle ABC = 25\sqrt{3} \text{cm}^2$ のとき、$\triangle EDC$ の面積を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ABD \equiv \triangle ACF$ の証明：

$\triangle ABC$は正三角形であるから、$AB=AC$　…①

菱形$ADEF$より、$AD=AF$　…②

$\angle BAD = \angle BAC - \angle DAC = 60^{\circ} - \angle DAC$

$AF // BC$より、$\angle FAC = \angle BCA - \angle CFA = 60^{\circ} - \angle CFA$

菱形$ADEF$において、$AD=AF$より$\triangle ADF$は二等辺三角形であるから、$\angle ADF = \angle AFD = \frac{180^{\circ} - \angle DAF}{2}$

$\angle DAF = 180^{\circ} - \angle DAF - 2 \angle AFD$

$\angle DAF = \angle DAF$

$\angle DAC = \angle DAF$

$\angle BAD = \angle CAF$　…③

①、②、③より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから、$\triangle ABD \equiv \triangle ACF$

(2) $\triangle EDC$ の面積を求める：

$\triangle ABC$は正三角形なので、その面積は一辺の長さを$a$とすると、$\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$で表される。

$\triangle ABC = 25\sqrt{3} \text{cm}^2$より、

$\frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = 25\sqrt{3}$

$a^2 = 100$

$a = 10$

したがって、$AC = 10 \text{cm}$

$AD:DC = 3:2$なので、$AD = \frac{3}{5}AC = \frac{3}{5} \times 10 = 6 \text{cm}$

$DC = \frac{2}{5}AC = \frac{2}{5} \times 10 = 4 \text{cm}$

$\triangle ABC$と$\triangle EDC$において、

$\angle ACB = \angle DEC = 60^{\circ}$

$\triangle ABC$は正三角形で、$ADEF$は菱形であるから、$ED // AF$より、$ED//BC$が成り立つ。

したがって、$\angle ACB = \angle DEC = 60^{\circ}$

$ED // BC$より、$\triangle EDC$も正三角形である。

$\triangle EDC$の一辺の長さは$DC = 4 \text{cm}$なので、$\triangle EDC$の面積は、

$\frac{\sqrt{3}}{4} \times 4^2 = 4\sqrt{3} \text{cm}^2$

3. 最終的な答え

(1) $\triangle ABD \equiv \triangle ACF$ の証明は上記参照。

(2) $\triangle EDC$ の面積は $4\sqrt{3} \text{cm}^2$。