図において、$\triangle ABC$ は正三角形であり、$AD$ を一辺とする菱形 $ADEF$ が $AF // BC$ となるように作られている。このとき、以下の問いに答える。 (1) $\triangle ABD \equiv \triangle ACF$ を証明せよ。 (2) $AD : DC = 3 : 2$、$ \triangle ABC = 25\sqrt{3} \, \text{cm}^2$ のとき、$\triangle EDC$ の面積を求めよ。

1. 問題の内容

図において、$\triangle ABC$ は正三角形であり、$AD$ を一辺とする菱形 $ADEF$ が $AF // BC$ となるように作られている。このとき、以下の問いに答える。

(1) $\triangle ABD \equiv \triangle ACF$ を証明せよ。

(2) $AD : DC = 3 : 2$、$\triangle ABC = 25\sqrt{3} \, \text{cm}^2$ のとき、$\triangle EDC$ の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ABD$ と $\triangle ACF$ において

* $AB = AC$ （正三角形 $ABC$ の辺）

* $AD = AF$ （菱形 $ADEF$ の辺）

* $\angle BAD = \angle BAC - \angle DAC$

$\angle CAF = \angle DAF - \angle DAC$

菱形 $ADEF$ の内角 $\angle DAF = 180^\circ - \angle ADE$ である。また $AF // BC$ より $\angle FAC = 60^\circ$。

$AF$ が $BC$ に平行であることから、$\angle CAF = \angle BCA = 60^\circ$ である。

$\angle BAD = \angle CAF$

$\angle DAC = \angle BAC - \angle BAD = 60^\circ - \angle BAD$

$\angle DAC = \angle DAF - \angle CAF = \angle DAF - 60^\circ$

$\angle BAD = \angle DAF - \angle DAC = 60^\circ + \angle DAC - 60^\circ = \angle BAC - 60^\circ$

菱形 $ADEF$ の対角 $\angle DAF = \angle DEF$

菱形 $ADEF$ の内角 $\angle DAF = 120^\circ$ なので、$\angle DAC = \angle FAC$

$\angle BAD = \angle CAF = \angle CAF + \angle CAD$ が成立する。

菱形 $ADEF$ において、$\angle DAF=120^\circ$ であり、$\angle FAC = 60^\circ$であるので、$\angle FAC = \angle CAB$

よって、$\angle DAF = \angle BAD$

$\triangle ABD \equiv \triangle ACF$ (二辺夾角相等)

(2) $\triangle ABC$ の面積が $25\sqrt{3} \, \text{cm}^2$ であることから、一辺の長さを求める。

正三角形の面積の公式は $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ である。

$\frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = 25\sqrt{3}$

$a^2 = 100$

$a = 10$

正三角形 $ABC$ の一辺の長さは $10 \, \text{cm}$ である。

$AD : DC = 3 : 2$ より、

$AD = 10 \times \frac{3}{5} = 6 \, \text{cm}$

$DC = 10 \times \frac{2}{5} = 4 \, \text{cm}$

$\triangle EDC$ の面積は、$\frac{1}{2} \times ED \times DC \times \sin(\angle EDC)$

$\angle ACB = 60^\circ$ であり、菱形の性質より $\angle ADE = 60^\circ$ であるため、$\angle EDC = 180 - (180-60) = 60^\circ$である。

$\triangle EDC = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 \times \sin(60^\circ) = \frac{1}{2} \times 24 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \, \text{cm}^2$

3. 最終的な答え

(1) $\triangle ABD \equiv \triangle ACF$ (証明終わり)

(2) $\triangle EDC$ の面積: $6\sqrt{3} \, \text{cm}^2$