与えられた関数をマクローリン展開したとき、0でない最初の3項を求めます。問題は3つあり、ここでは (1) $f(x) = \sin(4x) \sin(x)$ を解きます。

1. 問題の内容

与えられた関数をマクローリン展開したとき、0でない最初の3項を求めます。問題は3つあり、ここでは (1) $f(x) = \sin(4x) \sin(x)$ を解きます。

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、$f(x)$ を $x=0$ の周りでテイラー展開することです。つまり、$f(x)$ の導関数を計算し、$x=0$ で評価する必要があります。または、既知のマクローリン展開を利用して計算することもできます。

$\sin(x)$ のマクローリン展開は次の通りです。

$\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$

したがって、$\sin(4x)$ のマクローリン展開は次のようになります。

$\sin(4x) = 4x - \frac{(4x)^3}{3!} + \frac{(4x)^5}{5!} - \dots = 4x - \frac{64x^3}{6} + \frac{1024x^5}{120} - \dots = 4x - \frac{32x^3}{3} + \frac{256x^5}{15} - \dots$

したがって、$\sin(4x) \sin(x)$ は次のようになります。

$\sin(4x) \sin(x) = (4x - \frac{32x^3}{3} + \frac{256x^5}{15} - \dots)(x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \dots)$

最初の3項を計算するには、次の手順を実行します。

1. $x^2$の項： $4x * x = 4x^2$

2. $x^4$の項： $4x * (-\frac{x^3}{6}) + (-\frac{32x^3}{3}) * x = -\frac{4x^4}{6} - \frac{32x^4}{3} = -\frac{2x^4}{3} - \frac{32x^4}{3} = -\frac{34x^4}{3}$

3. $x^6$の項： $4x * \frac{x^5}{120} + (-\frac{32x^3}{3}) * (-\frac{x^3}{6}) + \frac{256x^5}{15} * x = \frac{4x^6}{120} + \frac{32x^6}{18} + \frac{256x^6}{15} = \frac{x^6}{30} + \frac{16x^6}{9} + \frac{256x^6}{15} = \frac{3x^6 + 50 * 16 x^6 + 6 * 256 x^6}{90} = \frac{3x^6 + 800x^6 + 1536x^6}{90} = \frac{2339x^6}{90}$

したがって、$f(x) = \sin(4x) \sin(x)$ のマクローリン展開の最初の3つの非ゼロ項は次のとおりです。

$f(x) = 4x^2 - \frac{34x^4}{3} + \frac{2339x^6}{90} + \dots$

3. 最終的な答え

$4x^2 - \frac{34}{3}x^4 + \frac{2339}{90}x^6$