3次方程式 $x^3 + ax^2 + 12x + b = 0$ の1つの解が $1 + \sqrt{5}i$ であるとき、実数 $a, b$ の値を求め、また他の解を求める。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + ax^2 + 12x + b = 0$ の1つの解が $1 + \sqrt{5}i$ であるとき、実数 $a, b$ の値を求め、また他の解を求める。

2. 解き方の手順

(1) 複素数解の共役性

係数が実数の3次方程式なので、$1 + \sqrt{5}i$ が解ならば、共役複素数 $1 - \sqrt{5}i$ も解である。

(2) 解と係数の関係

3つの解を $\alpha, \beta, \gamma$ とすると、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta + \gamma = -a$

$\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = 12$

$\alpha \beta \gamma = -b$

(3) 解の代入

$\alpha = 1 + \sqrt{5}i$、 $\beta = 1 - \sqrt{5}i$ とする。このとき、

$\alpha + \beta = (1 + \sqrt{5}i) + (1 - \sqrt{5}i) = 2$

$\alpha \beta = (1 + \sqrt{5}i)(1 - \sqrt{5}i) = 1 - (\sqrt{5}i)^2 = 1 - (-5) = 6$

(4) 残りの解の導出

$\alpha + \beta + \gamma = -a$、$\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = 12$、$\alpha \beta \gamma = -b$ に$\alpha, \beta$ の値を代入する。

$2 + \gamma = -a$

$6 + (1 + \sqrt{5}i)\gamma + (1 - \sqrt{5}i)\gamma = 12$

$6 + \gamma + \sqrt{5}i \gamma + \gamma - \sqrt{5}i \gamma = 12$

$6 + 2\gamma = 12$

$2\gamma = 6$

$\gamma = 3$

(5) a, b の値を求める

$2 + \gamma = -a$ より、$2 + 3 = -a$ なので $a = -5$

$\alpha \beta \gamma = -b$ より、$6 \cdot 3 = -b$ なので $b = -18$

(6) 他の解

$\gamma = 3$ なので、他の解は3。

3. 最終的な答え

$a = -5$

$b = -18$

他の解は 3