正の定数 $a$ に対する不等式 $6x^2 - (a+12)x - a^2 + a + 6 < 0$ を考える。この不等式を因数分解し、さらに、$a=2\sqrt{19}$ のときの不等式を満たす最小の整数 $x$ を求める。

1. 問題の内容

正の定数 $a$ に対する不等式 $6x^2 - (a+12)x - a^2 + a + 6 < 0$ を考える。この不等式を因数分解し、さらに、$a=2\sqrt{19}$ のときの不等式を満たす最小の整数 $x$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を因数分解する。

$6x^2 - (a+12)x - a^2 + a + 6 < 0$

定数項 $-a^2 + a + 6$ を因数分解すると、$-(a^2 - a - 6) = -(a-3)(a+2)$ となる。

$6x^2 - (a+12)x - (a-3)(a+2) < 0$

$x$ の係数 $a+12$ を考慮して、因数分解の形を $(2x + a - 3)(3x - a - 2) < 0$ または $(2x - a - 2)(3x + a - 3) < 0$ と推測する。

展開してみると、

$(2x - a - 2)(3x + a - 3) = 6x^2 + 2ax - 6x - 3ax - a^2 + 3a - 6x - 3a + 9 = 6x^2 - ax - 12x - a^2 + 9$

$(3x-a-2)(2x+a-3)=6x^2+3ax-9x-2ax-a^2+3a-4x-2a+6 = 6x^2+ax-13x-a^2+a+6$

$6x^2 - (a+12)x - a^2 + a + 6 = (2x+a-3)(3x-a-2)$と因数分解すると

$(2x+a-3)(3x-a-2)<0$となる。

次に、$a=2\sqrt{19}$ のとき、不等式は $(2x + 2\sqrt{19} - 3)(3x - 2\sqrt{19} - 2) < 0$ となる。

この不等式を満たす $x$ の範囲を求める。

$2x + 2\sqrt{19} - 3 = 0$ を解くと、$x = \frac{3 - 2\sqrt{19}}{2} \approx \frac{3 - 2(4.36)}{2} \approx \frac{3 - 8.72}{2} \approx -2.86$

$3x - 2\sqrt{19} - 2 = 0$ を解くと、$x = \frac{2\sqrt{19} + 2}{3} \approx \frac{2(4.36) + 2}{3} \approx \frac{8.72 + 2}{3} \approx \frac{10.72}{3} \approx 3.57$

したがって、$x$ の範囲は $\frac{3 - 2\sqrt{19}}{2} < x < \frac{2\sqrt{19} + 2}{3}$ となる。

$x$ の範囲は、約 $-2.86 < x < 3.57$ となる。

この範囲を満たす最小の整数は $-2$ である。

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: 3

ウ: 3

エ: 2

オカ: -2