(1) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{10}}$ を簡単にせよ。 (2) 下記のデータの平均を求めよ。ただし、小数点以下第2位を四捨五入して、小数第1位まで求めよ。 | 階級 | 度数 | | :----------- | :--- | | 20以上30未満 | 5 | | 30以上40未満 | 6 | | 40以上50未満 | 4 | (3) 濃度が5%の食塩水200gに、 $x$ gの水を加えると濃度が3%以上4%以下の食塩水となった。 $x$ の値の範囲を求めよ。 (4) 方程式 $x^2 = |x|$ を解け。 (5) 命題「$x=5$ならば $x^2 - 5x = 0$ である。」の真偽を述べよ。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、一つずつ丁寧に解説していきます。

1. 問題の内容

(1) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{10}}$ を簡単にせよ。

(2) 下記のデータの平均を求めよ。ただし、小数点以下第2位を四捨五入して、小数第1位まで求めよ。

| 階級 | 度数 |

| :----------- | :--- |

| 20以上30未満 | 5 |

| 30以上40未満 | 6 |

| 40以上50未満 | 4 |

(3) 濃度が5%の食塩水200gに、 $x$ gの水を加えると濃度が3%以上4%以下の食塩水となった。 $x$ の値の範囲を求めよ。

(4) 方程式 $x^2 = |x|$ を解け。

(5) 命題「$x=5$ならば $x^2 - 5x = 0$ である。」の真偽を述べよ。

2. 解き方の手順

(1) 式の簡略化

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{9}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{10}}$

$= \frac{\sqrt{2 \cdot 5 \cdot 9}}{\sqrt{3 \cdot 6 \cdot 10}} = \frac{\sqrt{90}}{\sqrt{180}} = \sqrt{\frac{90}{180}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

(2) 平均の計算

まず、各階級の中央値を求めます。

* 20以上30未満: $(20+30)/2 = 25$

* 30以上40未満: $(30+40)/2 = 35$

* 40以上50未満: $(40+50)/2 = 45$

次に、各階級の中央値に度数を掛け、それらを合計します。

$25 \cdot 5 + 35 \cdot 6 + 45 \cdot 4 = 125 + 210 + 180 = 515$

度数の合計は $5 + 6 + 4 = 15$

平均は、合計を度数の合計で割ったものです。

$\frac{515}{15} = 34.333...$

小数点以下第2位を四捨五入すると、34.3となります。

(3) 濃度問題

食塩の量は変わらないので、5%の食塩水200gに含まれる食塩の量は $200 \times 0.05 = 10$ g です。

$x$ g の水を加えた後の食塩水の量は $200 + x$ g となります。

濃度が3%以上4%以下なので、以下の不等式が成り立ちます。

$0.03 \leq \frac{10}{200 + x} \leq 0.04$

各辺の逆数をとると、不等号の向きが変わります。

$\frac{1}{0.04} \leq \frac{200 + x}{10} \leq \frac{1}{0.03}$

$25 \leq \frac{200 + x}{10} \leq \frac{100}{3}$

$250 \leq 200 + x \leq \frac{1000}{3}$

$50 \leq x \leq \frac{1000}{3} - 200 = \frac{1000 - 600}{3} = \frac{400}{3} = 133.333...$

したがって、$50 \leq x \leq \frac{400}{3}$

(4) 方程式の解

$x^2 = |x|$

$x^2 - |x| = 0$

場合分けをします。

* $x \geq 0$ のとき、$x^2 - x = 0$ => $x(x-1)=0$　=>　$x = 0, 1$

* $x < 0$ のとき、$x^2 + x = 0$ => $x(x+1)=0$ => $x = 0, -1$

したがって、$x = 0, 1, -1$

(5) 命題の真偽

$x=5$ならば $x^2 - 5x = 0$ である。

$x=5$ のとき、$x^2 - 5x = 5^2 - 5 \cdot 5 = 25 - 25 = 0$

したがって、この命題は真である。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{2}}{2}$

(2) 34.3

(3) $50 \leq x \leq \frac{400}{3}$

(4) $x = -1, 0, 1$

(5) 真