曲線 $y = x^2 - 4x + 6$ に対して、点 $(2, 1)$ から引いた接線の方程式を求める。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^2 - 4x + 6$ に対して、点 $(2, 1)$ から引いた接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、曲線上の点 $(t, t^2 - 4t + 6)$ における接線の方程式を求める。

$y = x^2 - 4x + 6$ を微分すると、

$\frac{dy}{dx} = 2x - 4$

したがって、点 $(t, t^2 - 4t + 6)$ における接線の傾きは $2t - 4$ となる。

よって、接線の方程式は

$y - (t^2 - 4t + 6) = (2t - 4)(x - t)$

$y = (2t - 4)x - 2t^2 + 4t + t^2 - 4t + 6$

$y = (2t - 4)x - t^2 + 6$

この接線が点 $(2, 1)$ を通るので、

$1 = (2t - 4)(2) - t^2 + 6$

$1 = 4t - 8 - t^2 + 6$

$t^2 - 4t + 3 = 0$

$(t - 1)(t - 3) = 0$

$t = 1, 3$

$t = 1$ のとき、接線の方程式は

$y = (2(1) - 4)x - 1^2 + 6$

$y = -2x + 5$

$t = 3$ のとき、接線の方程式は

$y = (2(3) - 4)x - 3^2 + 6$

$y = 2x - 3$

3. 最終的な答え

$y = -2x + 5$

$y = 2x - 3$