与えられた関数 $y = \sqrt{3} \sin \theta + \cos \theta$ ($0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$)を$y = 2 \sin(\theta + \frac{\pi}{3})$と変形し、$\theta$がいくつのとき、$y$が最大値をとるかを求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \sqrt{3} \sin \theta + \cos \theta$ ($0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$)を$y = 2 \sin(\theta + \frac{\pi}{3})$と変形し、$\theta$がいくつのとき、$y$が最大値をとるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $y = \sqrt{3} \sin \theta + \cos \theta$ を合成します。

$y = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} \sin (\theta + \alpha)$

ここで、$\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$、$\sin \alpha = \frac{1}{2}$ となる $\alpha$ を探すと、$\alpha = \frac{\pi}{6}$ です。したがって、$\theta$ の係数が1であることより

$y = 2\sin(\theta + \frac{\pi}{6})$

問題では、$y = 2 \sin (\theta + \frac{\pi}{3})$ と変形されているので、これは間違いです。

ただし、問題の誘導に従うこととします。$y = 2 \sin(\theta + \frac{\pi}{3})$において、$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$より、

$\frac{\pi}{3} \le \theta + \frac{\pi}{3} \le \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6}$

$y$ が最大値をとるのは、$\sin(\theta + \frac{\pi}{3}) = 1$のときです。

しかし、$\theta + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$ の時、$y$ は最大値 $2 \sin(\frac{\pi}{2}) = 2$ を取ります。

このとき、$\theta = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$

これは、$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ を満たしています。

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{\pi}{6}$ のとき、最大値 2 をとる。

問題文の穴埋め形式に合わせると、

2 = 2

3 = $\frac{\pi}{3}$

4 = $\frac{\pi}{6}$

5 = 2

となります。