与えられた5つの2次関数に関する問題を解きます。 1. $f(x) = x^2 - 6x + 5$ の頂点の座標と軸の方程式を求め、グラフを概形スケッチします。

1. 問題の内容

与えられた5つの2次関数に関する問題を解きます。

1. $f(x) = x^2 - 6x + 5$ の頂点の座標と軸の方程式を求め、グラフを概形スケッチします。

2. $g(x) = -2x^2 + 4x + 1$ の最大値と、そのときの $x$ の値を求めます。

3. $h(x) = ax^2 + bx + c$ が頂点 $(1, -2)$ を通り、$h(0) = 3$ を満たすとき、$a$, $b$, $c$ の値を求めます。

4. 放物線 $y = (x - 2)(x + 3)$ の頂点と $x$ 軸との交点を求めます。

5. 関数 $y = x^2$ と直線 $y = 2x + 3$ の交点を求めます。

2. 解き方の手順

1. $f(x)$ について：

平方完成を行います。

$f(x) = x^2 - 6x + 5 = (x - 3)^2 - 9 + 5 = (x - 3)^2 - 4$

したがって、頂点の座標は $(3, -4)$ であり、軸の方程式は $x = 3$ です。

グラフは、頂点 $(3, -4)$ を持ち、下に凸な放物線になります。$y$切片は $f(0) = 5$ なので、$y$軸との交点は$(0,5)$です。

2. $g(x)$ について：

平方完成を行います。

$g(x) = -2x^2 + 4x + 1 = -2(x^2 - 2x) + 1 = -2(x - 1)^2 + 2 + 1 = -2(x - 1)^2 + 3$

したがって、最大値は $3$ であり、そのときの $x$ の値は $1$ です。

3. $h(x)$ について：

頂点が $(1, -2)$ なので、$h(x) = a(x - 1)^2 - 2$ と書けます。

$h(0) = 3$ より、$a(0 - 1)^2 - 2 = 3$。

$a - 2 = 3$ より、$a = 5$ です。

したがって、$h(x) = 5(x - 1)^2 - 2 = 5(x^2 - 2x + 1) - 2 = 5x^2 - 10x + 5 - 2 = 5x^2 - 10x + 3$

よって、$a = 5$, $b = -10$, $c = 3$ です。

4. $y = (x - 2)(x + 3)$ について：

まず、式を展開します。

$y = x^2 + x - 6$

平方完成を行います。

$y = (x + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} - 6 = (x + \frac{1}{2})^2 - \frac{25}{4}$

したがって、頂点の座標は $(-\frac{1}{2}, -\frac{25}{4})$ です。

$x$軸との交点は $y = 0$ のときなので、$(x - 2)(x + 3) = 0$ より、$x = 2$ または $x = -3$

$x$軸との交点の座標は $(2, 0)$ と $(-3, 0)$ です。

5. $y = x^2$ と $y = 2x + 3$ について：

交点を求めるので、2つの式を連立します。

$x^2 = 2x + 3$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

$(x - 3)(x + 1) = 0$

したがって、$x = 3$ または $x = -1$ です。

$x = 3$ のとき、$y = 3^2 = 9$

$x = -1$ のとき、$y = (-1)^2 = 1$

よって、交点の座標は $(3, 9)$ と $(-1, 1)$ です。

3. 最終的な答え

1. 頂点の座標：$(3, -4)$、軸の方程式：$x = 3$

2. 最大値：$3$、$x$ の値：$1$

3. $a = 5$, $b = -10$, $c = 3$

4. 頂点の座標：$(-\frac{1}{2}, -\frac{25}{4})$、$x$ 軸との交点：$(2, 0)$, $(-3, 0)$

5. 交点の座標：$(3, 9)$, $(-1, 1)$