関数 $f(x) = -x^3 + ax^2 + bx$ が $x = -3$ で極小値、 $x = 1$ で極大値をとるとき、定数 $a, b$ の値を求め、さらに極大値と極小値をそれぞれ求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -x^3 + ax^2 + bx$ が $x = -3$ で極小値、 $x = 1$ で極大値をとるとき、定数 $a, b$ の値を求め、さらに極大値と極小値をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を微分して $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = -3x^2 + 2ax + b$

$x = -3$ で極小値、$x = 1$ で極大値をとるということは、$f'(-3) = 0$ かつ $f'(1) = 0$ が成り立つということです。

したがって、以下の2つの式が成り立ちます。

$f'(-3) = -3(-3)^2 + 2a(-3) + b = -27 - 6a + b = 0$

$f'(1) = -3(1)^2 + 2a(1) + b = -3 + 2a + b = 0$

これらの式を連立させて、$a, b$ の値を求めます。

$-27 - 6a + b = 0$ (1)

$-3 + 2a + b = 0$ (2)

(1) - (2)より

$-24 - 8a = 0$

$8a = -24$

$a = -3$

$a = -3$ を(2)に代入すると、

$-3 + 2(-3) + b = 0$

$-3 - 6 + b = 0$

$b = 9$

よって、$a = -3$, $b = 9$ です。

次に、極大値と極小値を求めます。

$f(x) = -x^3 - 3x^2 + 9x$

極大値は $x=1$ のときの $f(1)$ の値なので、

$f(1) = -1^3 - 3(1)^2 + 9(1) = -1 - 3 + 9 = 5$

極小値は $x=-3$ のときの $f(-3)$ の値なので、

$f(-3) = -(-3)^3 - 3(-3)^2 + 9(-3) = -(-27) - 3(9) - 27 = 27 - 27 - 27 = -27$

3. 最終的な答え

$a = -3$

$b = 9$

極大値: 5

極小値: -27