長方形ABCDがあり、4辺の長さの和は16である。辺BCの長さを$x$、長方形ABCDの面積を$y$とする。 (1) $y$を$x$の式で表す。 (2) $y \ge 10$となる$x$の範囲を求める。

1. 問題の内容

長方形ABCDがあり、4辺の長さの和は16である。辺BCの長さを$x$、長方形ABCDの面積を$y$とする。

(1) $y$を$x$の式で表す。

(2) $y \ge 10$となる$x$の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 長方形の4辺の長さの和が16なので、

$2(BC + AB) = 16$

$BC + AB = 8$

$BC = x$なので、

$x + AB = 8$

$AB = 8 - x$

長方形の面積$y$は、

$y = AB \times BC = (8 - x)x = 8x - x^2$

(2) $y \ge 10$なので、

$8x - x^2 \ge 10$

$x^2 - 8x + 10 \le 0$

この不等式を解くために、$x^2 - 8x + 10 = 0$の解を求める。

解の公式より、

$x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4(1)(10)}}{2(1)}$

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 40}}{2}$

$x = \frac{8 \pm \sqrt{24}}{2}$

$x = \frac{8 \pm 2\sqrt{6}}{2}$

$x = 4 \pm \sqrt{6}$

したがって、$x^2 - 8x + 10 \le 0$の解は、

$4 - \sqrt{6} \le x \le 4 + \sqrt{6}$

ここで、$x$は長方形の辺の長さなので、$x>0$であり、$8-x > 0$より、$x < 8$である。$4 + \sqrt{6} \approx 4 + 2.45 = 6.45 < 8$なので、この範囲は問題ない。

また、$4 - \sqrt{6} \approx 4 - 2.45 = 1.55 > 0$なので問題ない。

3. 最終的な答え

(1) $y = -x^2 + 8x$

(2) $4 - \sqrt{6} \le x \le 4 + \sqrt{6}$