以下の３つの積分を計算します。 $\int_{0}^{\infty} x^3 e^{-x^2} dx$, $\int_{0}^{\infty} \frac{e^x}{e^{2x}+1} dx$, $\int_{0}^{\infty} \log x dx$

1. 問題の内容

以下の３つの積分を計算します。

$\int_{0}^{\infty} x^3 e^{-x^2} dx$, $\int_{0}^{\infty} \frac{e^x}{e^{2x}+1} dx$, $\int_{0}^{\infty} \log x dx$

2. 解き方の手順

**一つ目の積分:** $\int_{0}^{\infty} x^3 e^{-x^2} dx$

まず、$u = x^2$ と置換すると、$du = 2x dx$ となります。したがって、$x dx = \frac{1}{2} du$ であり、積分範囲は $x: 0 \to \infty$ に対して $u: 0 \to \infty$ となります。

よって、

$$\int_{0}^{\infty} x^3 e^{-x^2} dx = \int_{0}^{\infty} x^2 e^{-x^2} x dx = \int_{0}^{\infty} u e^{-u} \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} u e^{-u} du$$

ここで、部分積分 $\int u e^{-u} du$ を計算します。$v = u$, $dw = e^{-u} du$ とすると、$dv = du$, $w = -e^{-u}$ となり、

$$\int u e^{-u} du = -u e^{-u} - \int -e^{-u} du = -u e^{-u} - e^{-u} = -(u+1) e^{-u}$$

したがって、

$$\int_{0}^{\infty} u e^{-u} du = \lim_{b \to \infty} \left[ -(u+1) e^{-u} \right]_{0}^{b} = \lim_{b \to \infty} \left[ -(b+1) e^{-b} - (-(0+1) e^{-0}) \right] = \lim_{b \to \infty} \left[ -\frac{b+1}{e^b} + 1 \right] = 0 + 1 = 1$$

よって、

$$\int_{0}^{\infty} x^3 e^{-x^2} dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} u e^{-u} du = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$$

**二つ目の積分:** $\int_{0}^{\infty} \frac{e^x}{e^{2x}+1} dx$

$u=e^x$と置換すると、$du=e^xdx$となる。積分範囲は$x:0 \to \infty$に対して$u:1 \to \infty$となる。したがって

$$\int_{0}^{\infty} \frac{e^x}{e^{2x}+1} dx = \int_{1}^{\infty} \frac{1}{u^2+1} du = [\arctan(u)]_{1}^{\infty} = \arctan(\infty) - \arctan(1) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$$

**三つ目の積分:** $\int_{0}^{\infty} \log x dx$

この積分は発散します。なぜなら、$x \to 0$ のとき $\log x \to -\infty$ であり、$x \to \infty$ のとき $\log x \to \infty$ だからです。

$\int_{0}^{1} \log x dx$ と $\int_{1}^{\infty} \log x dx$ の両方が発散します。

$\int \log x dx$ を部分積分で計算すると、

$u = \log x$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = x$ となり、

$$\int \log x dx = x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \log x - \int dx = x \log x - x$$

$$\int_{0}^{1} \log x dx = \lim_{a \to 0^+} \left[ x \log x - x \right]_{a}^{1} = (1 \log 1 - 1) - \lim_{a \to 0^+} (a \log a - a) = (0 - 1) - (0 - 0) = -1$$

$$\int_{1}^{\infty} \log x dx = \lim_{b \to \infty} \left[ x \log x - x \right]_{1}^{b} = \lim_{b \to \infty} (b \log b - b) - (1 \log 1 - 1) = \lim_{b \to \infty} (b \log b - b) - (0 - 1) = \infty$$

したがって、$\int_{0}^{\infty} \log x dx$ は発散します。

3. 最終的な答え

$\int_{0}^{\infty} x^3 e^{-x^2} dx = \frac{1}{2}$

$\int_{0}^{\infty} \frac{e^x}{e^{2x}+1} dx = \frac{\pi}{4}$

$\int_{0}^{\infty} \log x dx$ は発散する