4. ある二次方程式の解の積が5、和が2であるとき、その方程式を求めよ。 5. 二次方程式 $x^2 - (k+1)x + k = 0$ が実数解を持つための $k$ の範囲を判別式を使って求めよ。

1. 問題の内容

4. ある二次方程式の解の積が5、和が2であるとき、その方程式を求めよ。

5. 二次方程式 $x^2 - (k+1)x + k = 0$ が実数解を持つための $k$ の範囲を判別式を使って求めよ。

2. 解き方の手順

4. 二次方程式の解を $\alpha, \beta$ とすると、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = 2$

$\alpha \beta = 5$

このとき、求める二次方程式は

$(x - \alpha)(x - \beta) = 0$

$x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha \beta = 0$

$x^2 - 2x + 5 = 0$

5. 二次方程式 $x^2 - (k+1)x + k = 0$ が実数解を持つための条件は、判別式 $D$ が $D \geq 0$ であること。

判別式 $D$ は、

$D = (-(k+1))^2 - 4(1)(k)$

$D = (k+1)^2 - 4k$

$D = k^2 + 2k + 1 - 4k$

$D = k^2 - 2k + 1$

$D = (k - 1)^2$

したがって、$D \geq 0$ より

$(k-1)^2 \geq 0$

これは任意の $k$ で成り立つ。

3. 最終的な答え

4. 求める二次方程式は $x^2 - 2x + 5 = 0$

5. $k$ の範囲はすべての実数