定積分 $\int_{a}^{x} f(t) dt = x^3 - 5x^2 + 2x + 8$ を満たす関数 $f(x)$ と定数 $a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{a}^{x} f(t) dt = x^3 - 5x^2 + 2x + 8$ を満たす関数 $f(x)$ と定数 $a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 両辺を $x$ で微分します。微積分学の基本定理より、

$\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) dt = f(x)$

$\frac{d}{dx} (x^3 - 5x^2 + 2x + 8) = 3x^2 - 10x + 2$

したがって、

$f(x) = 3x^2 - 10x + 2$

(2) 与えられた等式に $x = a$ を代入します。定積分の定義より $\int_{a}^{a} f(t) dt = 0$ なので、

$\int_{a}^{a} f(t) dt = a^3 - 5a^2 + 2a + 8$

$0 = a^3 - 5a^2 + 2a + 8$

(3) $a$ を求めます。上の3次方程式を解く必要があります。因数定理を使うと、$a = -1$ が解の一つであることがわかります。

$(-1)^3 - 5(-1)^2 + 2(-1) + 8 = -1 - 5 - 2 + 8 = 0$

したがって、$a^3 - 5a^2 + 2a + 8$ は $(a+1)$ で割り切れます。実際に割り算を行うと、

$a^3 - 5a^2 + 2a + 8 = (a+1)(a^2 - 6a + 8) = (a+1)(a-2)(a-4)$

よって、 $a^3 - 5a^2 + 2a + 8 = 0$ の解は $a = -1, 2, 4$ です。

3. 最終的な答え

$f(x) = 3x^2 - 10x + 2$

$a = -1, 2, 4$