第15項が29、第25項が-31である等差数列において、初項から第n項までの和が最大になるようなnの値と、その和の最大値を求める問題です。

1. 問題の内容

第15項が29、第25項が-31である等差数列において、初項から第n項までの和が最大になるようなnの値と、その和の最大値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、等差数列の一般項を求めます。等差数列の初項を$a$、公差を$d$とすると、第n項は$a_n = a + (n-1)d$と表されます。

問題文より、

第15項は29なので、$a + 14d = 29$ ... (1)

第25項は-31なので、$a + 24d = -31$ ... (2)

(2) - (1)より、

$10d = -60$

$d = -6$

$d = -6$を(1)に代入すると、

$a + 14(-6) = 29$

$a - 84 = 29$

$a = 113$

したがって、等差数列の一般項は$a_n = 113 + (n-1)(-6) = 113 - 6n + 6 = 119 - 6n$です。

次に、初項から第n項までの和$S_n$を求めます。

$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}(113 + 119 - 6n) = \frac{n}{2}(232 - 6n) = n(116 - 3n) = 116n - 3n^2$

$S_n$が最大となるnを求めます。$S_n$はnの二次関数なので、平方完成して最大値を求めます。

$S_n = -3n^2 + 116n = -3(n^2 - \frac{116}{3}n) = -3(n^2 - \frac{116}{3}n + (\frac{58}{3})^2) + 3(\frac{58}{3})^2 = -3(n - \frac{58}{3})^2 + \frac{58^2}{3}$

$S_n$が最大になるのは、$n = \frac{58}{3} = 19.333...$のときです。

nは整数なので、$n = 19$または$n = 20$のとき、$S_n$が最大に近い値を取ります。

$a_n > 0$となる最大のnを求めると、$119 - 6n > 0$より、$6n < 119$、$n < \frac{119}{6} = 19.833...$。つまり、$n = 19$までが正の項となります。

$S_n$が最大となるのは、$a_{n+1} < 0$となるnです。

$a_{20} = 119 - 6(20) = 119 - 120 = -1$なので、$n = 19$まで足すと和が最大になります。

$S_{19} = 19(116 - 3(19)) = 19(116 - 57) = 19(59) = 1121$

$S_{20} = 20(116 - 3(20)) = 20(116 - 60) = 20(56) = 1120$

したがって、初項から第19項までの和が最大となり、その値は1121です。

3. 最終的な答え

初項からの和が最大になるのは、第19項までの和である。

その和の最大値は1121である。