第15項が29、第25項が-31である等差数列について、初項から何項までの和が最大になるか、また、そのときの和の最大値を求める問題です。

1. 問題の内容

第15項が29、第25項が-31である等差数列について、初項から何項までの和が最大になるか、また、そのときの和の最大値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 等差数列の一般項を $a_n = a + (n-1)d$ とおきます。ここで $a$ は初項、$d$ は公差です。

問題文より、

$a_{15} = a + 14d = 29$

$a_{25} = a + 24d = -31$

(2) 上の2つの式から $a$ と $d$ を求めます。

2番目の式から1番目の式を引くと、

$(a + 24d) - (a + 14d) = -31 - 29$

$10d = -60$

$d = -6$

これを $a + 14d = 29$ に代入すると、

$a + 14(-6) = 29$

$a - 84 = 29$

$a = 113$

したがって、等差数列の一般項は $a_n = 113 + (n-1)(-6) = 113 - 6n + 6 = 119 - 6n$ です。

(3) 初項から $n$ 項までの和 $S_n$ は、

$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}(113 + 119 - 6n) = \frac{n}{2}(232 - 6n) = n(116 - 3n) = 116n - 3n^2$

(4) $S_n$ が最大になるのは、$a_n$ が正である最後の項までです。つまり、$a_n > 0$ となる最大の $n$ を求めます。

$119 - 6n > 0$

$6n < 119$

$n < \frac{119}{6} = 19.833...$

したがって、$a_{19} > 0$ であり、$a_{20} < 0$ となるので、第19項までの和が最大になります。

(5) $S_{19}$ を計算します。

$S_{19} = 19(116 - 3 \cdot 19) = 19(116 - 57) = 19(59) = 1121$

3. 最終的な答え

初項からの和が最大になるのは第19項までの和であり、その和の最大値は1121です。