以下の極限を計算します。 $\lim_{x \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{x} \right)^x$

1. 問題の内容

以下の極限を計算します。

$\lim_{x \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{x} \right)^x$

2. 解き方の手順

まず、$y = \left( 1 - \frac{1}{x} \right)^x$ とおきます。

両辺の自然対数をとると、

$\ln y = \ln \left( 1 - \frac{1}{x} \right)^x = x \ln \left( 1 - \frac{1}{x} \right)$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \ln y = \lim_{x \to \infty} x \ln \left( 1 - \frac{1}{x} \right)$

ここで、$t = \frac{1}{x}$ とおくと、$x \to \infty$ のとき $t \to 0$ なので、

$\lim_{x \to \infty} x \ln \left( 1 - \frac{1}{x} \right) = \lim_{t \to 0} \frac{1}{t} \ln (1 - t) = \lim_{t \to 0} \frac{\ln (1 - t)}{t}$

この極限は $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を使うことができます。分子と分母をそれぞれ $t$ で微分すると、

$\lim_{t \to 0} \frac{\frac{-1}{1-t}}{1} = \lim_{t \to 0} \frac{-1}{1-t} = -1$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \ln y = -1$

$\lim_{x \to \infty} y = e^{-1} = \frac{1}{e}$

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{x} \right)^x = \frac{1}{e}$