2次関数 $y = 4x^2 + 7x - (2m+5)$ のグラフが、$x$ 軸と異なる2点で交わるような定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。

代数学二次関数判別式不等式
2025/7/19

1. 問題の内容

2次関数 y=4x2+7x(2m+5)y = 4x^2 + 7x - (2m+5) のグラフが、xx 軸と異なる2点で交わるような定数 mm の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

2次関数 y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c のグラフが xx 軸と異なる2点で交わる条件は、判別式 D=b24ac>0D = b^2 - 4ac > 0 であることです。
与えられた2次関数 y=4x2+7x(2m+5)y = 4x^2 + 7x - (2m+5) について、a=4a=4, b=7b=7, c=(2m+5)c=-(2m+5) です。
判別式 DD は、
D=7244((2m+5))D = 7^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-(2m+5))
D=49+16(2m+5)D = 49 + 16(2m+5)
D=49+32m+80D = 49 + 32m + 80
D=32m+129D = 32m + 129
グラフが xx 軸と異なる2点で交わるためには、D>0D > 0 である必要があります。したがって、
32m+129>032m + 129 > 0
32m>12932m > -129
m>12932m > -\frac{129}{32}

3. 最終的な答え

m>12932m > -\frac{129}{32}

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