問題は以下の3つです。 (1) 関数 $y = \frac{\log x}{x}$ のグラフを描きなさい。（凹凸も調べること） (2) 関数 $y = \frac{\log x}{x}$ の最大値を求めなさい。 (3) $e^{\pi}$ と $\pi^e$ のどちらが大きいか答えなさい。

1. 問題の内容

問題は以下の3つです。

(1) 関数 $y = \frac{\log x}{x}$ のグラフを描きなさい。（凹凸も調べること）

(2) 関数 $y = \frac{\log x}{x}$ の最大値を求めなさい。

(3) $e^{\pi}$ と $\pi^e$ のどちらが大きいか答えなさい。

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{\log x}{x}$ のグラフを描く。

まず、定義域を考える。$\log x$ が定義されるためには $x > 0$ が必要。

次に、導関数を求める。

$y' = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \log x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$

$y' = 0$ となるのは $1 - \log x = 0$ のとき、つまり $\log x = 1$ なので $x = e$ 。

$x < e$ のとき $y' > 0$ であり、$x > e$ のとき $y' < 0$ であるから、$x = e$ で最大値をとる。

次に、二階導関数を求める。

$y'' = \frac{-\frac{1}{x} \cdot x^2 - (1 - \log x) \cdot 2x}{x^4} = \frac{-x - 2x + 2x \log x}{x^4} = \frac{-3 + 2 \log x}{x^3}$

$y'' = 0$ となるのは $-3 + 2 \log x = 0$ のとき、つまり $\log x = \frac{3}{2}$ なので $x = e^{\frac{3}{2}}$ 。

$x < e^{\frac{3}{2}}$ のとき $y'' < 0$ (上に凸) であり、$x > e^{\frac{3}{2}}$ のとき $y'' > 0$ (下に凸) であるから、$x = e^{\frac{3}{2}}$ は変曲点。

$x \to 0$ のとき $y \to -\infty$、$x \to \infty$ のとき $y \to 0$。

(2) 最大値を求める。

(1)で求めたように、 $x = e$ で最大値をとる。

$y(e) = \frac{\log e}{e} = \frac{1}{e}$。

(3) $e^{\pi}$ と $\pi^e$ のどちらが大きいかを比較する。

$y = \frac{\log x}{x}$ のグラフを利用する。$e < \pi$ なので、 $y(e)$ と $y(\pi)$ を比較する。

$y(e) = \frac{1}{e}$ であり、$y(\pi) = \frac{\log \pi}{\pi}$ である。

$y(e) > y(\pi)$ より $\frac{1}{e} > \frac{\log \pi}{\pi}$ が成り立つ。したがって $\pi > e \log \pi$ となる。

両辺を $e \pi$ で割ると

$\frac{1}{e} > \frac{\log \pi}{\pi}$

$\frac{\pi}{e} > \log \pi$

$e^{\frac{\pi}{e}} > \pi$

$e^\pi > \pi^e$。

3. 最終的な答え

(1) グラフは省略します。$x = e$ で最大値 $1/e$ をとり、$x = e^{3/2}$ で変曲点をもつグラフとなります。$x\to 0$ で $y \to -\infty$、$x \to \infty$ で $y \to 0$ です。

(2) 最大値：$1/e$

(3) $e^{\pi}$