不等式 $5|x-1|+|x+2| \leq 6$ の解集合を求めよ。

1. 問題の内容

不等式 $5|x-1|+|x+2| \leq 6$ の解集合を求めよ。

2. 解き方の手順

絶対値を含む不等式なので、絶対値の中身の符号によって場合分けを行います。

(1) $x < -2$ のとき：

$x-1 < 0$ かつ $x+2 < 0$ なので、

$5(1-x) - (x+2) \leq 6$

$5 - 5x - x - 2 \leq 6$

$-6x + 3 \leq 6$

$-6x \leq 3$

$x \geq -\frac{1}{2}$

これは $x < -2$ を満たさないので、この範囲に解は存在しません。

(2) $-2 \leq x < 1$ のとき：

$x-1 < 0$ かつ $x+2 \geq 0$ なので、

$5(1-x) + (x+2) \leq 6$

$5 - 5x + x + 2 \leq 6$

$-4x + 7 \leq 6$

$-4x \leq -1$

$x \geq \frac{1}{4}$

この範囲での解は、$\frac{1}{4} \leq x < 1$ です。

(3) $x \geq 1$ のとき：

$x-1 \geq 0$ かつ $x+2 > 0$ なので、

$5(x-1) + (x+2) \leq 6$

$5x - 5 + x + 2 \leq 6$

$6x - 3 \leq 6$

$6x \leq 9$

$x \leq \frac{3}{2}$

この範囲での解は、$1 \leq x \leq \frac{3}{2}$ です。

したがって、不等式の解は、$\frac{1}{4} \leq x < 1$ と $1 \leq x \leq \frac{3}{2}$ を合わせた範囲になります。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{4} \leq x \leq \frac{3}{2}$