2次関数 $y = -2x^2 + 5x + (m-3)$ のグラフがx軸と異なる2点で交わるとき、定数 $m$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -2x^2 + 5x + (m-3)$ のグラフがx軸と異なる2点で交わるとき、定数 $m$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

2次関数のグラフがx軸と異なる2点で交わる条件は、判別式 $D$ が $D > 0$ となることである。

与えられた2次関数 $y = -2x^2 + 5x + (m-3)$ の判別式 $D$ は、

$D = b^2 - 4ac$ で計算される。ここで、$a = -2$, $b = 5$, $c = m-3$ である。

したがって、

$D = 5^2 - 4(-2)(m-3)$

$D = 25 + 8(m-3)$

$D = 25 + 8m - 24$

$D = 8m + 1$

グラフがx軸と異なる2点で交わるためには、$D > 0$ でなければならないから、

$8m + 1 > 0$

$8m > -1$

$m > -\frac{1}{8}$

3. 最終的な答え

$m > -\frac{1}{8}$