ベクトル $A = (1, -1, 1)$, $B = (2, 3, -1)$, $C = (2, -1, 1)$ が与えられたとき、以下の値を計算する。 (1) $A$ と $B$ に垂直な方向の単位ベクトル (2) $A \times (B \times C)$ (3) $(A \times B) \times C$ (4) $(A \cdot C)B - (B \cdot C)A$

1. 問題の内容

ベクトル $A = (1, -1, 1)$, $B = (2, 3, -1)$, $C = (2, -1, 1)$ が与えられたとき、以下の値を計算する。

(1) $A$ と $B$ に垂直な方向の単位ベクトル

(2) $A \times (B \times C)$

(3) $(A \times B) \times C$

(4) $(A \cdot C)B - (B \cdot C)A$

2. 解き方の手順

(1) $A$ と $B$ に垂直なベクトルは $A \times B$ で与えられる。

まず、$A \times B$ を計算する。

$A \times B = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & -1 \end{vmatrix} = i((-1)(-1) - (1)(3)) - j((1)(-1) - (1)(2)) + k((1)(3) - (-1)(2)) = -2i + 3j + 5k = (-2, 3, 5)$

次に、このベクトルの大きさを計算する。

$||A \times B|| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 9 + 25} = \sqrt{38}$

よって、$A$ と $B$ に垂直な方向の単位ベクトルは $\pm \frac{A \times B}{||A \times B||} = \pm \frac{(-2, 3, 5)}{\sqrt{38}} = \pm (-\frac{2}{\sqrt{38}}, \frac{3}{\sqrt{38}}, \frac{5}{\sqrt{38}})$

(2) $A \times (B \times C)$ を計算する。

まず、$B \times C$ を計算する。

$B \times C = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = i((3)(1) - (-1)(-1)) - j((2)(1) - (-1)(2)) + k((2)(-1) - (3)(2)) = 2i - 4j - 8k = (2, -4, -8)$

次に、$A \times (B \times C)$ を計算する。

$A \times (B \times C) = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & -4 & -8 \end{vmatrix} = i((-1)(-8) - (1)(-4)) - j((1)(-8) - (1)(2)) + k((1)(-4) - (-1)(2)) = 12i + 10j - 2k = (12, 10, -2)$

(3) $(A \times B) \times C$ を計算する。

(1) で $A \times B = (-2, 3, 5)$ を計算済みなので、これを利用する。

$(A \times B) \times C = \begin{vmatrix} i & j & k \\ -2 & 3 & 5 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = i((3)(1) - (5)(-1)) - j((-2)(1) - (5)(2)) + k((-2)(-1) - (3)(2)) = 8i + 12j - 4k = (8, 12, -4)$

(4) $(A \cdot C)B - (B \cdot C)A$ を計算する。

まず、$A \cdot C = (1)(2) + (-1)(-1) + (1)(1) = 2 + 1 + 1 = 4$

次に、$B \cdot C = (2)(2) + (3)(-1) + (-1)(1) = 4 - 3 - 1 = 0$

よって、$(A \cdot C)B - (B \cdot C)A = (4)B - (0)A = 4(2, 3, -1) - 0(1, -1, 1) = (8, 12, -4)$

3. 最終的な答え

(1) $\pm (-\frac{2}{\sqrt{38}}, \frac{3}{\sqrt{38}}, \frac{5}{\sqrt{38}})$

(2) $(12, 10, -2)$

(3) $(8, 12, -4)$

(4) $(8, 12, -4)$