画像に書かれた問題は、総和の計算です。具体的には、$\sum_{k=1}^{n} (2k+1)^2$ を計算する問題です。ただし、$n$の値は画像からは判断できません。ここでは$n$の場合の一般的な式を導出します。

1. 問題の内容

画像に書かれた問題は、総和の計算です。具体的には、$\sum_{k=1}^{n} (2k+1)^2$ を計算する問題です。ただし、$n$の値は画像からは判断できません。ここでは$n$の場合の一般的な式を導出します。

2. 解き方の手順

まず、$(2k+1)^2$を展開します。

$(2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1$

次に、総和の性質を利用して、各項ごとに総和を計算します。

$\sum_{k=1}^{n} (2k+1)^2 = \sum_{k=1}^{n} (4k^2 + 4k + 1) = 4\sum_{k=1}^{n} k^2 + 4\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1$

ここで、以下の公式を利用します。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

これらの公式を代入します。

$4\sum_{k=1}^{n} k^2 + 4\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1 = 4\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 4\cdot\frac{n(n+1)}{2} + n$

式を整理します。

$\frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} + 2n(n+1) + n = \frac{2n(n+1)(2n+1) + 6n(n+1) + 3n}{3}$

さらに整理します。

$\frac{n[2(n+1)(2n+1) + 6(n+1) + 3]}{3} = \frac{n[2(2n^2+3n+1) + 6n + 6 + 3]}{3} = \frac{n(4n^2 + 6n + 2 + 6n + 9)}{3} = \frac{n(4n^2 + 12n + 11)}{3}$

3. 最終的な答え

$\sum_{k=1}^{n} (2k+1)^2 = \frac{n(4n^2 + 12n + 11)}{3}$