与えられた力 $\vec{f} = (axy, bxy)$ が、経路 $C_1$ ( (1,1) から (3,1) までの $y=1$ 上の直線) と経路 $C_2$ ( (3,1) から (3,2) までの $x=3$ 上の直線) 上を移動する質点に対して行う仕事を計算する。

## 問5の解答

1. 問題の内容

与えられた力 $\vec{f} = (axy, bxy)$ が、経路 $C_1$ ( (1,1) から (3,1) までの $y=1$ 上の直線) と経路 $C_2$ ( (3,1) から (3,2) までの $x=3$ 上の直線) 上を移動する質点に対して行う仕事を計算する。

2. 解き方の手順

仕事 $W$ は力 $\vec{f}$ の線積分で与えられます。すなわち、

$W = \int_C \vec{f} \cdot d\vec{r}$

ここで $d\vec{r} = (dx, dy)$ です。

**経路 $C_1$**

$y=1$ であり、$dy = 0$ です。$x$ は $1$ から $3$ まで変化します。したがって、

$W_{C_1} = \int_{C_1} (axy, bxy) \cdot (dx, dy) = \int_1^3 ax(1) dx = a \int_1^3 x dx = a \left[ \frac{x^2}{2} \right]_1^3 = a \left( \frac{9}{2} - \frac{1}{2} \right) = a \cdot \frac{8}{2} = 4a$

**経路 $C_2$**

$x=3$ であり、$dx = 0$ です。$y$ は $1$ から $2$ まで変化します。したがって、

$W_{C_2} = \int_{C_2} (axy, bxy) \cdot (dx, dy) = \int_1^2 b(3)y dy = 3b \int_1^2 y dy = 3b \left[ \frac{y^2}{2} \right]_1^2 = 3b \left( \frac{4}{2} - \frac{1}{2} \right) = 3b \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{2}b$

3. 最終的な答え

経路 $C_1$ での仕事: $4a$

経路 $C_2$ での仕事: $\frac{9}{2}b$

## 問6の解答

1. 問題の内容

原点を中心とする半径 $a$ の円運動について、角速度 $\theta = \omega t$ (等速円運動) および $\theta = bt^2$ (非等速円運動) の場合に、質点の速度、加速度、力、運動エネルギー、角運動量などを求める。

2. 解き方の手順

**(1) $\theta = \omega t$ の場合 (等速円運動)**

(i) 速度 $\vec{v}$ と加速度 $\vec{a}$

位置ベクトルは $\vec{r} = (a\cos(\omega t), a\sin(\omega t), 0)$ です。

速度 $\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt}$ なので、

$\vec{v} = (-a\omega \sin(\omega t), a\omega \cos(\omega t), 0)$

加速度 $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt}$ なので、

$\vec{a} = (-a\omega^2 \cos(\omega t), -a\omega^2 \sin(\omega t), 0)$

(ii) 力 $\vec{F}$ の大きさ $|\vec{F}|$

ニュートンの運動方程式 $\vec{F} = m\vec{a}$ より、

$\vec{F} = m\vec{a} = (-ma\omega^2 \cos(\omega t), -ma\omega^2 \sin(\omega t), 0)$

したがって、力の大きさは

$|\vec{F}| = \sqrt{(-ma\omega^2 \cos(\omega t))^2 + (-ma\omega^2 \sin(\omega t))^2} = \sqrt{m^2 a^2 \omega^4 (\cos^2(\omega t) + \sin^2(\omega t))} = ma\omega^2$

(iii) 質点の運動エネルギー $K$

運動エネルギー $K = \frac{1}{2} m |\vec{v}|^2$ です。

$|\vec{v}|^2 = (-a\omega \sin(\omega t))^2 + (a\omega \cos(\omega t))^2 = a^2 \omega^2 (\sin^2(\omega t) + \cos^2(\omega t)) = a^2 \omega^2$

したがって、

$K = \frac{1}{2} m a^2 \omega^2$

(iv) (あ) と (い) に入る適切な言葉

「$\vec{F}$ がする (あ) は (い) の変化に等しい。これと (iii) の答より、$\vec{F}$ がする (あ) はゼロである。」

(あ): 仕事

(い): 運動エネルギー

(v) 原点まわりの角運動量 $\vec{L} = m\vec{r} \times \vec{v}$

$\vec{L} = m(a\cos(\omega t), a\sin(\omega t), 0) \times (-a\omega \sin(\omega t), a\omega \cos(\omega t), 0)$

$\vec{L} = m(0, 0, a^2 \omega (\cos^2(\omega t) + \sin^2(\omega t))) = (0, 0, ma^2 \omega)$

**(2) $\theta = bt^2$ の場合 (非等速円運動)**

(i) 速度 $\vec{v}$

位置ベクトルは $\vec{r} = (a\cos(bt^2), a\sin(bt^2), 0)$ です。

速度 $\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt}$ なので、

$\vec{v} = (-2abt \sin(bt^2), 2abt \cos(bt^2), 0)$

(ii) 速さ $|\vec{v}|$

$|\vec{v}| = \sqrt{(-2abt \sin(bt^2))^2 + (2abt \cos(bt^2))^2} = \sqrt{4a^2 b^2 t^2 (\sin^2(bt^2) + \cos^2(bt^2))} = 2abt$

3. 最終的な答え

**(1) $\theta = \omega t$ の場合**

(i) $\vec{v} = (-a\omega \sin(\omega t), a\omega \cos(\omega t), 0)$、$\vec{a} = (-a\omega^2 \cos(\omega t), -a\omega^2 \sin(\omega t), 0)$

(ii) $|\vec{F}| = ma\omega^2$

(iii) $K = \frac{1}{2} m a^2 \omega^2$

(iv) (あ): 仕事、(い): 運動エネルギー

(v) $\vec{L} = (0, 0, ma^2 \omega)$

**(2) $\theta = bt^2$ の場合**

(i) $\vec{v} = (-2abt \sin(bt^2), 2abt \cos(bt^2), 0)$

(ii) $|\vec{v}| = 2abt$