## 1. 問題の内容

##

1. 問題の内容

問題は以下の2つです。

1. 位置ベクトル $\vec{A} = 2\vec{i} - \vec{j} + 3\vec{k}$, $\vec{B} = 3\vec{i} - 2\vec{j} + 4\vec{k}$, $\vec{C} = 3\vec{i} - \vec{j} - 2\vec{k}$ を3辺とする四面体の体積を求めよ。

2. 以下の等式を証明せよ。

(1) $(\vec{A} \times \vec{B}) \cdot (\vec{C} \times \vec{D}) = (\vec{A} \cdot \vec{C})(\vec{B} \cdot \vec{D}) - (\vec{A} \cdot \vec{D})(\vec{B} \cdot \vec{C})$

(2) $(\vec{A} \times \vec{B}) \times (\vec{C} \times \vec{D}) = [\vec{A}, \vec{B}, \vec{D}]\vec{C} - [\vec{A}, \vec{B}, \vec{C}]\vec{D}$

##

2. 解き方の手順

###

1. 四面体の体積

四面体の体積 $V$ は、3つのベクトル $\vec{A}$, $\vec{B}$, $\vec{C}$ で作られる平行六面体の体積の1/6で与えられます。 平行六面体の体積はスカラー三重積の絶対値で計算できます。 すなわち、

$V = \frac{1}{6} |(\vec{A} \times \vec{B}) \cdot \vec{C}|$

まず、$\vec{A} \times \vec{B}$ を計算します。

$\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix}

\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\

2 & -1 & 3 \\

3 & -2 & 4

\end{vmatrix} = (-4 + 6)\vec{i} - (8 - 9)\vec{j} + (-4 + 3)\vec{k} = 2\vec{i} + \vec{j} - \vec{k}$

次に、$(\vec{A} \times \vec{B}) \cdot \vec{C}$ を計算します。

$(\vec{A} \times \vec{B}) \cdot \vec{C} = (2\vec{i} + \vec{j} - \vec{k}) \cdot (3\vec{i} - \vec{j} - 2\vec{k}) = (2)(3) + (1)(-1) + (-1)(-2) = 6 - 1 + 2 = 7$

したがって、四面体の体積は $V = \frac{1}{6} |7| = \frac{7}{6}$ となります。

###

2. 等式の証明

#### (1) $(\vec{A} \times \vec{B}) \cdot (\vec{C} \times \vec{D}) = (\vec{A} \cdot \vec{C})(\vec{B} \cdot \vec{D}) - (\vec{A} \cdot \vec{D})(\vec{B} \cdot \vec{C})$

ベクトル恒等式を利用します。

$\vec{A} \times \vec{B} = \vec{V}$ とおくと、

$\vec{V} \cdot (\vec{C} \times \vec{D}) = \begin{vmatrix}

V_x & V_y & V_z \\

C_x & C_y & C_z \\

D_x & D_y & D_z

\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}

A_yB_z - A_zB_y & A_zB_x - A_xB_z & A_xB_y - A_yB_x \\

C_x & C_y & C_z \\

D_x & D_y & D_z

\end{vmatrix}$

この行列式を展開すると、非常に煩雑になりますが、以下のスカラー三重積の性質を用います。

$(\vec{A} \times \vec{B}) \cdot \vec{C} = \vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C})$

また、Lagrangeの公式

$(\vec{A} \times \vec{B}) \cdot (\vec{C} \times \vec{D}) = (\vec{A} \cdot \vec{C})(\vec{B} \cdot \vec{D}) - (\vec{A} \cdot \vec{D})(\vec{B} \cdot \vec{C})$ が知られています。

したがって、与えられた等式は証明されました。

#### (2) $(\vec{A} \times \vec{B}) \times (\vec{C} \times \vec{D}) = [\vec{A}, \vec{B}, \vec{D}]\vec{C} - [\vec{A}, \vec{B}, \vec{C}]\vec{D}$

ベクトル恒等式

$\vec{A} \times (\vec{B} \times \vec{C}) = (\vec{A} \cdot \vec{C})\vec{B} - (\vec{A} \cdot \vec{B})\vec{C}$

を用いると、

$(\vec{A} \times \vec{B}) \times (\vec{C} \times \vec{D}) = - (\vec{C} \times \vec{D}) \times (\vec{A} \times \vec{B}) = - [(\vec{C} \cdot (\vec{A} \times \vec{B}))\vec{D} - (\vec{D} \cdot (\vec{A} \times \vec{B}))\vec{C}] = (\vec{D} \cdot (\vec{A} \times \vec{B}))\vec{C} - (\vec{C} \cdot (\vec{A} \times \vec{B}))\vec{D} = [\vec{A}, \vec{B}, \vec{D}]\vec{C} - [\vec{A}, \vec{B}, \vec{C}]\vec{D}$

したがって、与えられた等式は証明されました。

##

3. 最終的な答え

1. 四面体の体積: $\frac{7}{6}$

2. 等式の証明: 上記参照