$\sum_{k=1}^{n} 5 \cdot 2^{k}$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} 5 \cdot 2^{k}$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、定数 5 をシグマの外に出します。

$\sum_{k=1}^{n} 5 \cdot 2^{k} = 5 \sum_{k=1}^{n} 2^{k}$

次に、$\sum_{k=1}^{n} 2^{k}$ を計算します。これは初項 2、公比 2、項数 n の等比数列の和なので、等比数列の和の公式を使います。

等比数列の和の公式は $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ です。ここで、$a$ は初項、$r$ は公比、$n$ は項数です。

この問題の場合、$a = 2$, $r = 2$ なので、

$\sum_{k=1}^{n} 2^{k} = \frac{2(2^n - 1)}{2 - 1} = 2(2^n - 1) = 2^{n+1} - 2$

したがって、

$5 \sum_{k=1}^{n} 2^{k} = 5(2^{n+1} - 2) = 5 \cdot 2^{n+1} - 10$

3. 最終的な答え

$5 \cdot 2^{n+1} - 10$