与えられた4つの式を展開する問題です。具体的には、次の式を展開します。 (1) $12a^2b(\frac{a^2}{6}+\frac{ab}{4}+\frac{b^2}{3})$ (2) $(3x-x^2)(5x^2-2x+1)$ (3) $(x^2-2xy-3)(2x+3y)$ (4) $(a^2-ab+2b^2)(3a+b)$

代数学展開多項式分配法則同類項
2025/7/19

1. 問題の内容

与えられた4つの式を展開する問題です。具体的には、次の式を展開します。
(1) 12a2b(a26+ab4+b23)12a^2b(\frac{a^2}{6}+\frac{ab}{4}+\frac{b^2}{3})
(2) (3xx2)(5x22x+1)(3x-x^2)(5x^2-2x+1)
(3) (x22xy3)(2x+3y)(x^2-2xy-3)(2x+3y)
(4) (a2ab+2b2)(3a+b)(a^2-ab+2b^2)(3a+b)

2. 解き方の手順

各問題について、分配法則を用いて展開し、同類項をまとめて整理します。
(1) 12a2b(a26+ab4+b23)12a^2b(\frac{a^2}{6}+\frac{ab}{4}+\frac{b^2}{3})
=12a2ba26+12a2bab4+12a2bb23= 12a^2b \cdot \frac{a^2}{6} + 12a^2b \cdot \frac{ab}{4} + 12a^2b \cdot \frac{b^2}{3}
=2a4b+3a3b2+4a2b3= 2a^4b + 3a^3b^2 + 4a^2b^3
(2) (3xx2)(5x22x+1)(3x-x^2)(5x^2-2x+1)
=3x(5x22x+1)x2(5x22x+1)= 3x(5x^2-2x+1) - x^2(5x^2-2x+1)
=15x36x2+3x5x4+2x3x2= 15x^3-6x^2+3x - 5x^4+2x^3-x^2
=5x4+17x37x2+3x= -5x^4 + 17x^3 - 7x^2 + 3x
(3) (x22xy3)(2x+3y)(x^2-2xy-3)(2x+3y)
=x2(2x+3y)2xy(2x+3y)3(2x+3y)= x^2(2x+3y) -2xy(2x+3y) -3(2x+3y)
=2x3+3x2y4x2y6xy26x9y= 2x^3+3x^2y -4x^2y -6xy^2 -6x -9y
=2x3x2y6xy26x9y= 2x^3 -x^2y -6xy^2 -6x -9y
(4) (a2ab+2b2)(3a+b)(a^2-ab+2b^2)(3a+b)
=a2(3a+b)ab(3a+b)+2b2(3a+b)= a^2(3a+b) -ab(3a+b) +2b^2(3a+b)
=3a3+a2b3a2bab2+6ab2+2b3= 3a^3 + a^2b -3a^2b -ab^2 + 6ab^2 + 2b^3
=3a32a2b+5ab2+2b3= 3a^3 -2a^2b + 5ab^2 + 2b^3

3. 最終的な答え

(1) 2a4b+3a3b2+4a2b32a^4b + 3a^3b^2 + 4a^2b^3
(2) 5x4+17x37x2+3x-5x^4 + 17x^3 - 7x^2 + 3x
(3) 2x3x2y6xy26x9y2x^3 -x^2y -6xy^2 -6x -9y
(4) 3a32a2b+5ab2+2b33a^3 -2a^2b + 5ab^2 + 2b^3

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