放物線 $C: y = x^2$ 上の点 $(a, a^2)$ (ただし、$0 < a \le 1$) における接線を $l$ とするとき、以下の問いに答えます。 (1) 接線 $l$ の方程式を求めよ。 (2) 直線 $x = 0$, $x = 1$, 放物線 $C$ と接線 $l$ で囲まれる部分で、$y \ge 0$ を満たす部分の面積 $S(a)$ を求めよ。 (3) $S(a)$ の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $C: y = x^2$ 上の点 $(a, a^2)$ (ただし、$0 < a \le 1$) における接線を $l$ とするとき、以下の問いに答えます。

(1) 接線 $l$ の方程式を求めよ。

(2) 直線 $x = 0$, $x = 1$, 放物線 $C$ と接線 $l$ で囲まれる部分で、$y \ge 0$ を満たす部分の面積 $S(a)$ を求めよ。

(3) $S(a)$ の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 接線 $l$ の方程式を求める。

$y = x^2$ を微分すると $y' = 2x$。点 $(a, a^2)$ における接線の傾きは $2a$ なので、接線 $l$ の方程式は

$y - a^2 = 2a(x - a)$

$y = 2ax - 2a^2 + a^2$

$y = 2ax - a^2$

(2) 面積 $S(a)$ を求める。

$x = 0$ のとき、$y = 0$ で、$x = 1$ のとき、$y = 1$ なので、$0 \le x \le 1$ の範囲で考える。

放物線 $C$ と接線 $l$ の交点の $x$ 座標は、$x^2 = 2ax - a^2$ を解いて $x = a$。

$0 < a \le 1$ なので、$0 \le x \le 1$ の範囲で $y = x^2$ と $y = 2ax - a^2$ で囲まれた部分を考えます。$0 \le x \le a$ の範囲では $x^2 \ge 2ax-a^2$ なので面積は $\int_0^a (x^2 - 2ax + a^2)dx$. $a \le x \le 1$ の範囲では接線の方が大きいので面積は $\int_a^1 (2ax - a^2 - x^2) dx$.

したがって、

$S(a) = \int_0^1 |x^2 - 2ax + a^2| dx = \int_0^a (x^2 - 2ax + a^2) dx + \int_a^1 (-x^2 + 2ax - a^2) dx$

$S(a) = [\frac{x^3}{3} - ax^2 + a^2x]_0^a + [-\frac{x^3}{3} + ax^2 - a^2x]_a^1$

$S(a) = (\frac{a^3}{3} - a^3 + a^3) + (-\frac{1}{3} + a - a^2) - (-\frac{a^3}{3} + a^3 - a^3)$

$S(a) = \frac{a^3}{3} + (-\frac{1}{3} + a - a^2) + \frac{a^3}{3}$

$S(a) = \frac{2}{3}a^3 - a^2 + a - \frac{1}{3}$

(3) $S(a)$ の最小値を求める。

$S(a) = \frac{2}{3}a^3 - a^2 + a - \frac{1}{3}$ を微分すると、

$S'(a) = 2a^2 - 2a + 1 = 2(a^2 - a + \frac{1}{4}) + \frac{1}{2} = 2(a - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} > 0$

したがって、$S(a)$ は $0 < a \le 1$ の範囲で単調増加するので、$a = 1/2$ は範囲外となります。 $a=1$のとき$S(a)$ が最小になる可能性があります。

$0 < a \le 1$ の範囲で $S'(a)$ は常に正なので、$S(a)$ は単調増加関数である。

したがって、$a \to 0$ のとき $S(a)$ が最小値に近づくが、$a > 0$ であるため最小値は存在しない。ただし、問題の条件 $0 < a \leq 1$ を考慮すると$a=1$で最小になることはない。

$S(1) = \frac{2}{3} - 1 + 1 - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$

しかし, $0<a \le 1$ であるから、区間の端点 $a=1$ で最小とならない。$S'(a)>0$より$S(a)$は単調増加なので$a$が最小値に近ければ$S(a)$も小さくなる。しかし、$a>0$ であるから最小値は存在しない。

ここで微分を間違えた可能性を考慮して、$a=1/2$における$S(a)$の値を計算すると

$S(\frac{1}{2}) = \frac{2}{3}(\frac{1}{8}) - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{12} - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1 - 3 + 6 - 4}{12} = 0$

$S(1/2)=0$ となるため $S(a)$ は増加関数ではないことがわかる。

$S'(a) = 2a^2 - 2a + 1$. $S'(a)=0$のとき $a = \frac{2 \pm \sqrt{4-8}}{4} = \frac{1 \pm i}{2}$となるので、実数の範囲で$S'(a)=0$とはならない。

$S'(a) = 2(a - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} >0$より、$0<a \leq 1$の範囲では単調増加。

$S(a)$は定義域において単調増加であり、定義域の下限値における関数の値は存在しないので、$S(a)$に最小値は存在しない。

しかし、$a \to 0$に限りなく近い$a$が存在するとして、問題文を解釈すると$S(a)$の最小値は0に近い値となる。

仮に問題が$0 \le a \le 1$であれば、$a=1/2$で最小値0をとる。

3. 最終的な答え

(1) $y = 2ax - a^2$

(2) $S(a) = \frac{2}{3}a^3 - a^2 + a - \frac{1}{3}$

(3) 最小値は存在しない。しかし問題の条件から$a=1/2$で最小値0を取る（$0 \le a \le 1$の時）。