$a, b$ は実数であるとき、3次方程式 $x^3 - 5x^2 + ax + b = 0$ が $2+i$ を解に持つ。このとき、定数 $a, b$ の値を求め、他の解を求める。

1. 問題の内容

$a, b$ は実数であるとき、3次方程式 $x^3 - 5x^2 + ax + b = 0$ が $2+i$ を解に持つ。このとき、定数 $a, b$ の値を求め、他の解を求める。

2. 解き方の手順

複素数 $2+i$ が与えられた3次方程式の解であるため、共役複素数 $2-i$ も解である。

なぜならば、$a, b$ が実数である場合、実数係数の多項式方程式の解は、複素共役も解になるからである。

したがって、$x = 2+i$ と $x = 2-i$ は解である。

2つの解が $2+i$ と $2-i$ であるから、これらを解にもつ2次式は

$(x - (2+i))(x - (2-i)) = (x-2-i)(x-2+i) = (x-2)^2 - (i)^2 = x^2 - 4x + 4 - (-1) = x^2 - 4x + 5$

となる。

3次方程式 $x^3 - 5x^2 + ax + b = 0$ は、$x^2 - 4x + 5$ で割り切れる。したがって、3次方程式は

$x^3 - 5x^2 + ax + b = (x^2 - 4x + 5)(x - c) = 0$

の形で表せる。ここで、$c$ は実数である。

展開すると、

$x^3 - 5x^2 + ax + b = x^3 - cx^2 - 4x^2 + 4cx + 5x - 5c = x^3 - (c+4)x^2 + (4c+5)x - 5c$

となる。

係数を比較すると、

$c+4 = 5$

$4c+5 = a$

$-5c = b$

$c+4=5$ から $c=1$ がわかる。

$a = 4c+5 = 4(1)+5 = 9$

$b = -5c = -5(1) = -5$

よって、$a=9, b=-5$ である。

残りの解は $x = c = 1$ である。

3. 最終的な答え

$a = 9$

$b = -5$

他の解: $x = 1, 2-i$