放物線 $C: y = x^2$ 上の点 $(a, a^2)$ $(0 < a \le 1)$ における接線を $l$ とします。 (1) 接線 $l$ の方程式を求めます。 (2) 直線 $x=0$, $x=1$, 放物線 $C$ と接線 $l$ で囲まれる部分で、$y \ge 0$ を満たす部分の面積 $S(a)$ を求めます。 (3) $S(a)$ の最小値を求めます。

1. 問題の内容

放物線 $C: y = x^2$ 上の点 $(a, a^2)$ $(0 < a \le 1)$ における接線を $l$ とします。

(1) 接線 $l$ の方程式を求めます。

(2) 直線 $x=0$, $x=1$, 放物線 $C$ と接線 $l$ で囲まれる部分で、$y \ge 0$ を満たす部分の面積 $S(a)$ を求めます。

(3) $S(a)$ の最小値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 接線 $l$ の方程式を求める。

$y = x^2$ を微分すると、$y' = 2x$。点 $(a, a^2)$ における接線の傾きは $2a$。

したがって、接線 $l$ の方程式は、

$y - a^2 = 2a(x - a)$

$y = 2ax - 2a^2 + a^2$

$y = 2ax - a^2$

(2) 面積 $S(a)$ を求める。

$S(a)$ は、放物線 $y=x^2$ と接線 $y=2ax - a^2$、直線 $x=0$、 $x=1$ で囲まれた部分の面積。

$S(a) = \int_0^1 (x^2 - (2ax - a^2))dx = \int_0^1 (x^2 - 2ax + a^2)dx$

$S(a) = [\frac{1}{3}x^3 - ax^2 + a^2x]_0^1 = \frac{1}{3} - a + a^2$

(3) $S(a)$ の最小値を求める。

$S(a) = a^2 - a + \frac{1}{3}$ を平方完成する。

$S(a) = (a - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} + \frac{1}{3} = (a - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{12}$

$0 < a \le 1$ なので、$a = \frac{1}{2}$ のとき、$S(a)$ は最小値 $\frac{1}{12}$ をとる。

3. 最終的な答え

(1) 接線 $l$ の方程式は、$y = 2ax - a^2$

(2) 面積 $S(a)$ は、$S(a) = a^2 - a + \frac{1}{3}$

(3) $S(a)$ の最小値は、$\frac{1}{12}$