バネ定数 $k$ のバネに質量 $m$ の質点をぶら下げたときの運動について、以下の問いに答えます。 (1) ニュートンの運動方程式を立てます。 (2) 初期位置 $z(0)$、速度 $\dot{z}(t)$、初速度 $\dot{z}(0)$ を求めます。 (3) 加速度 $\ddot{z}(t)$ を求めます。 (4) $\omega$ と $c$ を求めます。 (5) 最下点における $z$ の値を求めます。

1. 問題の内容

バネ定数 $k$ のバネに質量 $m$ の質点をぶら下げたときの運動について、以下の問いに答えます。

(1) ニュートンの運動方程式を立てます。

(2) 初期位置 $z(0)$、速度 $\dot{z}(t)$、初速度 $\dot{z}(0)$ を求めます。

(3) 加速度 $\ddot{z}(t)$ を求めます。

(4) $\omega$ と $c$ を求めます。

(5) 最下点における $z$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) ニュートンの運動方程式

質点には重力 $mg$ とバネの力 $-k(z-c)$ が働きます。ここで、$z=c$ はバネが自然長のときの質点の位置です。したがって、運動方程式は、

$m\ddot{z} = mg - k(z-c)$

(2) 初期位置、速度、初速度

位置 $z(t)$ は与えられています。

$z(t) = a\cos(\omega t) + b\sin(\omega t) + c$

初期位置 $z(0)$ は、$t=0$ を代入することで求まります。

$z(0) = a\cos(0) + b\sin(0) + c = a + c$

速度 $\dot{z}(t)$ は、$z(t)$ を時間 $t$ で微分することで求まります。

$\dot{z}(t) = -a\omega\sin(\omega t) + b\omega\cos(\omega t)$

初速度 $\dot{z}(0)$ は、$t=0$ を代入することで求まります。

$\dot{z}(0) = -a\omega\sin(0) + b\omega\cos(0) = b\omega$

(3) 加速度

加速度 $\ddot{z}(t)$ は、$\dot{z}(t)$ を時間 $t$ で微分することで求まります。

$\ddot{z}(t) = -a\omega^2\cos(\omega t) - b\omega^2\sin(\omega t) = -\omega^2(a\cos(\omega t) + b\sin(\omega t)) = -\omega^2(z(t) - c)$

$\ddot{z} = -\omega^2 (z - c)$

(4) $\omega$ と $c$

(1)の運動方程式を整理すると

$m\ddot{z} = mg - kz + kc$

$m\ddot{z} + kz = mg + kc$

ここで(3)より

$m(-\omega^2(z-c)) = mg - k(z-c)$

$-m\omega^2 z + m\omega^2 c = -kz + kc + mg$

これより、$m\omega^2 = k$、かつ $m\omega^2 c = kc + mg$ でなければなりません。

よって、$\omega^2 = \frac{k}{m}$ より $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$

また、$kc=kc + mg$　より $kc+mg = kc$ は成り立たないので、(1)より求めた運動方程式と(3)で求めた加速度の比較から、$mg -k(z-c)= m\ddot{z}= -m\omega^2(z-c)$

が成り立つ。 $mg -kz +kc = -m\omega^2 z + m\omega^2 c$ となり、$mg+kc= 0$ よって、 $c = \frac{mg}{k}$

(5) 最下点

最下点では、$z(t)$ が最大値をとります。$z(t) = a\cos(\omega t) + b\sin(\omega t) + c$ の最大値は、$a\cos(\omega t) + b\sin(\omega t)$ の部分の最大値を求めることになります。

$a\cos(\omega t) + b\sin(\omega t) = A\sin(\omega t + \phi)$ と表せます。ただし、$A = \sqrt{a^2 + b^2}$ です。したがって、$z(t)$ の最大値は $A + c = \sqrt{a^2 + b^2} + c$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $m\ddot{z} = mg - k(z-c)$

(2) $z(0) = a+c$

$\dot{z}(t) = -a\omega\sin(\omega t) + b\omega\cos(\omega t)$

$\dot{z}(0) = b\omega$

(3) $\ddot{z} = -\omega^2 (z - c)$

(4) $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$

$c = \frac{mg}{k}$

(5) $\sqrt{a^2 + b^2} + c$