問題1: 放物線 $y = x^2 - x$ と、放物線上の点$(0, 0)$と$(2, 2)$における接線で囲まれた図形の面積を求めます。

1. 問題の内容

問題1: 放物線 $y = x^2 - x$ と、放物線上の点$(0, 0)$と$(2, 2)$における接線で囲まれた図形の面積を求めます。

2. 解き方の手順

まず、放物線上の点における接線を求めます。

(1) $y = x^2 - x$ の導関数を求めます。

$y' = 2x - 1$

(2) 点$(0, 0)$における接線を求めます。

$y'(0) = 2(0) - 1 = -1$

接線の式は $y - 0 = -1(x - 0)$ より $y = -x$

(3) 点$(2, 2)$における接線を求めます。

$y'(2) = 2(2) - 1 = 3$

接線の式は $y - 2 = 3(x - 2)$ より $y = 3x - 4$

(4) 2つの接線の交点を求めます。

$-x = 3x - 4$

$4x = 4$

$x = 1$

$y = -1$

交点は$(1, -1)$

(5) 求める面積は、放物線と2つの接線で囲まれた部分の面積です。この面積は、$\int_0^1 (x^2-x - (-x)) dx + \int_1^2 (x^2 - x - (3x-4)) dx$で求められます。

第一項：$\int_0^1 x^2 dx = [\frac{1}{3}x^3]_0^1 = \frac{1}{3}$

第二項：$\int_1^2 (x^2 - 4x + 4) dx = \int_1^2 (x-2)^2 dx = [\frac{1}{3}(x-2)^3]_1^2 = 0 - (-\frac{1}{3}) = \frac{1}{3}$

(6) 求める面積は $\frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3}$