放物線 $y = x^2 - 4x + 3$ と、この放物線上の点 $(4, 3)$ および $(0, 3)$ における接線によって囲まれた図形の面積を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 4x + 3$ と、この放物線上の点 $(4, 3)$ および $(0, 3)$ における接線によって囲まれた図形の面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの点における接線を求めます。

放物線 $y = x^2 - 4x + 3$ を微分すると、$y' = 2x - 4$ となります。

- 点 $(4, 3)$ における接線：

$x = 4$ を $y'$ に代入すると、$y' = 2(4) - 4 = 4$ となります。

したがって、接線の傾きは $4$ です。接線の方程式は、$y - 3 = 4(x - 4)$ より $y = 4x - 13$ となります。

- 点 $(0, 3)$ における接線：

$x = 0$ を $y'$ に代入すると、$y' = 2(0) - 4 = -4$ となります。

したがって、接線の傾きは $-4$ です。接線の方程式は、$y - 3 = -4(x - 0)$ より $y = -4x + 3$ となります。

次に、2つの接線の交点を求めます。

$4x - 13 = -4x + 3$ を解くと、$8x = 16$ より $x = 2$ となります。このとき、$y = -4(2) + 3 = -5$ となります。

したがって、交点は $(2, -5)$ です。

次に、求める面積を計算します。放物線と2つの接線で囲まれた部分の面積は、積分を用いて計算できます。

面積は、

$$S = \int_{0}^{2} [(x^2 - 4x + 3) - (-4x + 3)] dx + \int_{2}^{4} [(x^2 - 4x + 3) - (4x - 13)] dx$$

$$S = \int_{0}^{2} (x^2) dx + \int_{2}^{4} (x^2 - 8x + 16) dx$$

$$S = \int_{0}^{2} x^2 dx + \int_{2}^{4} (x-4)^2 dx$$

それぞれの積分を計算します。

$$\int_{0}^{2} x^2 dx = \left[\frac{1}{3}x^3\right]_{0}^{2} = \frac{8}{3}$$

$$\int_{2}^{4} (x-4)^2 dx = \left[\frac{1}{3}(x-4)^3\right]_{2}^{4} = 0 - \frac{1}{3}(-2)^3 = \frac{8}{3}$$

したがって、求める面積は

$S = \frac{8}{3} + \frac{8}{3} = \frac{16}{3}$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{16}{3}$