3次関数 $S(a) = -\frac{3}{4}a^2 + 2a - 1$ が与えられています。この関数を変形した結果 $S(a) = -\frac{1}{4}(3a-2)(a-2)$ が与えられています。$0 \le a \le 1$ の条件の下で、$S(a)$ を最小にする $a$ の値を求める方法が問われています。また、$S(a)=0$ のときについても考察するように指示されています。

1. 問題の内容

3次関数 $S(a) = -\frac{3}{4}a^2 + 2a - 1$ が与えられています。この関数を変形した結果 $S(a) = -\frac{1}{4}(3a-2)(a-2)$ が与えられています。$0 \le a \le 1$ の条件の下で、$S(a)$ を最小にする $a$ の値を求める方法が問われています。また、$S(a)=0$ のときについても考察するように指示されています。

2. 解き方の手順

* まず、$S(a)= -\frac{1}{4}(3a-2)(a-2)$ から、$S(a) = 0$ となる $a$ の値を求めます。

$S(a)=0$ となるのは、$3a-2=0$ または $a-2=0$ のときです。

したがって、$a = \frac{2}{3}$ または $a = 2$ となります。

* 次に、$0 \le a \le 1$ という条件を考慮します。

$a = \frac{2}{3}$ はこの条件を満たしますが、$a = 2$ は満たしません。

* 次に、$S(a)$ の増減を調べるために、導関数を計算します。

$S'(a) = -\frac{3}{2}a + 2$ となります。

* $S'(a) = 0$ となる $a$ の値を求めます。

$-\frac{3}{2}a + 2 = 0$ より、$a = \frac{4}{3}$ となります。

* 次に、$0 \le a \le 1$ の範囲で、$S(a)$ の最小値を考えます。

$a = 0$, $a = 1$, $a = \frac{2}{3}$ での $S(a)$ の値を計算します。

$S(0) = -1$,

$S(1) = -\frac{3}{4} + 2 - 1 = \frac{1}{4}$,

$S(\frac{2}{3}) = 0$ です。

* $0 \le a \le 1$ の範囲で、$S(a)$ の最小値は $S(0) = -1$ となります。

3. 最終的な答え

$0 \le a \le 1$ の範囲で $S(a)$ を最小にする $a$ の値は $a = 0$ です。