$^{99\text{m}}$Tc は $^{99}$Mo との放射平衡を利用したミルキング法で精製される。$^{99}$Mo の初期放射能が 5.0 GBq のとき、33時間後と66時間後の2回のミルキングで得られる $^{99\text{m}}$Tc の放射能の合計を求める。ただし、$^{99}$Mo の半減期は 66 時間、$^{99\text{m}}$Tc の半減期は 6 時間である。

1. 問題の内容

$^{99\text{m}}$Tc は $^{99}$Mo との放射平衡を利用したミルキング法で精製される。$^{99}$Mo の初期放射能が 5.0 GBq のとき、33時間後と66時間後の2回のミルキングで得られる $^{99\text{m}}$Tc の放射能の合計を求める。ただし、$^{99}$Mo の半減期は 66 時間、$^{99\text{m}}$Tc の半減期は 6 時間である。

2. 解き方の手順

まず、$^{99}$Mo の崩壊定数 $\lambda_{\text{Mo}}$ と $^{99\text{m}}$Tc の崩壊定数 $\lambda_{\text{Tc}}$ を求める。

半減期 $T_{1/2}$ と崩壊定数 $\lambda$ の間には $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$ の関係がある。

したがって、

$$\lambda_{\text{Mo}} = \frac{\ln 2}{66} \approx 0.0105 \text{ h}^{-1}$$

$$\lambda_{\text{Tc}} = \frac{\ln 2}{6} \approx 0.1155 \text{ h}^{-1}$$

次に、33時間後の $^{99}$Mo の放射能 $A_{\text{Mo}}(33)$ を計算する。$^{99}$Mo の初期放射能を $A_0$ とすると、

$$A_{\text{Mo}}(t) = A_0 e^{-\lambda_{\text{Mo}} t}$$

$$A_{\text{Mo}}(33) = 5.0 \times e^{-0.0105 \times 33} = 5.0 \times e^{-0.3465} \approx 5.0 \times 0.707 = 3.535 \text{ GBq}$$

1回目のミルキングで得られる $^{99\text{m}}$Tc の放射能は、33時間後の $^{99\text{m}}$Tc の放射能に相当するので、

$$A_{\text{Tc,1}} = A_{\text{Mo}}(33) \times 10^9 = 3.535 \times 10^9 \text{ Bq}$$

2回目のミルキングでの $^{99\text{m}}$Tc の初期放射能は、33時間後の $^{99}$Mo の放射能に相当する。

$$A_{\text{Tc,2,0}} = A_{\text{Mo}}(33) = 3.535 \text{ GBq}$$

2回目のミルキングは、66時間後に行われる。したがって、2回目のミルキングで得られる $^{99\text{m}}$Tc の放射能は、$A_{\text{Tc,2,0}}$となる。

$^{99\text{m}}$Tcの放射能を$A(t)$とおくと、

$$A_{\text{Tc,2}} = A_{\text{Tc,2,0}} \times 10^9 = 3.535 \times 10^9 \text{ Bq}$$

したがって、2回のミルキングで得られる $^{99\text{m}}$Tc の放射能の合計は、

$$A_{\text{total}} = A_{\text{Tc,1}} + A_{\text{Tc,2}} = 3.535 \times 10^9 + 3.535 \times 10^9 = 7.07 \times 10^9 \text{ Bq}$$

3. 最終的な答え

$7.07 \times 10^9$ Bq