(1) 次の連立不等式を解け。 $x^2 + 2x - 24 \le 0$ $x^2 - 4x - 1 > 0$ (2) 次の条件を満たす実数の定数 $a$ の値の範囲を求めよ。 すべての実数 $x$ に対して、$ax^2 - 3ax + a + 5 > 0$ が成り立つ。

1. 問題の内容

(1) 次の連立不等式を解け。

$x^2 + 2x - 24 \le 0$

$x^2 - 4x - 1 > 0$

(2) 次の条件を満たす実数の定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

すべての実数 $x$ に対して、$ax^2 - 3ax + a + 5 > 0$ が成り立つ。

2. 解き方の手順

(1) 連立不等式を解く。

まず、$x^2 + 2x - 24 \le 0$ を解く。

$(x+6)(x-4) \le 0$

したがって、$-6 \le x \le 4$。

次に、$x^2 - 4x - 1 > 0$ を解く。

解の公式より、$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$。

したがって、$x < 2 - \sqrt{5}$ または $x > 2 + \sqrt{5}$。

連立不等式の解は、$-6 \le x < 2 - \sqrt{5}$ または $2 + \sqrt{5} < x \le 4$。

$2 - \sqrt{5} \approx 2 - 2.236 = -0.236$

$2 + \sqrt{5} \approx 2 + 2.236 = 4.236$

(2) $ax^2 - 3ax + a + 5 > 0$ がすべての実数 $x$ に対して成り立つ条件を求める。

(i) $a = 0$ のとき、$5 > 0$ となり、すべての $x$ で成立。

(ii) $a > 0$ のとき、判別式 $D = (-3a)^2 - 4a(a+5) < 0$ であれば良い。

$9a^2 - 4a^2 - 20a < 0$

$5a^2 - 20a < 0$

$5a(a - 4) < 0$

$0 < a < 4$

(i)(ii) より、$0 \le a < 4$

3. 最終的な答え

(1) $-6 \le x < 2 - \sqrt{5}$ または $2 + \sqrt{5} < x \le 4$

(2) $0 \le a < 4$