$a$ を定数とする。定義域が $0 \le x \le 6$ である関数 $f(x) = -3x^2 + 6ax + 2a + 1$ の最小値を、$a$ の値によって場合分けして求める問題です。

1. 問題の内容

$a$ を定数とする。定義域が $0 \le x \le 6$ である関数 $f(x) = -3x^2 + 6ax + 2a + 1$ の最小値を、$a$ の値によって場合分けして求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = -3(x^2 - 2ax) + 2a + 1$

$f(x) = -3(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) + 2a + 1$

$f(x) = -3(x - a)^2 + 3a^2 + 2a + 1$

この関数のグラフは上に凸な放物線であり、軸は $x = a$ です。定義域が $0 \le x \le 6$ なので、軸の位置によって最小値をとる $x$ の値が変わります。以下の3つの場合に分けて考えます。

(i) $a < 0$ のとき

定義域の左端 $x=0$ で最小値をとります。

$f(0) = -3(0)^2 + 6a(0) + 2a + 1 = 2a + 1$

(ii) $0 \le a \le 6$ のとき

この範囲では、さらに場合分けが必要です。

定義域は $0 \le x \le 6$ です。軸 $x = a$ の位置と定義域の端点の関係で最小値は変わります。$f(x)$ は上に凸なので、軸から最も離れた $x$ で最小値をとります。

$f(0) = 2a+1$

$f(6) = -3(6)^2 + 6a(6) + 2a + 1 = -108 + 36a + 2a + 1 = 38a - 107$

ここで、$2a + 1$ と $38a - 107$ の大小関係を調べます。

$2a + 1 = 38a - 107$

$36a = 108$

$a = 3$

(a) $0 \le a < 3$ のとき

$x=6$ で最小値をとります。

最小値は $f(6) = 38a - 107$

(b) $a = 3$ のとき

$f(0) = 2(3) + 1 = 7$

$f(6) = 38(3) - 107 = 114 - 107 = 7$

最小値は $7$

(c) $3 < a \le 6$ のとき

$x=0$ で最小値をとります。

最小値は $f(0) = 2a + 1$

(iii) $6 < a$ のとき

定義域の右端 $x=6$ で最小値をとります。

$f(6) = -3(6)^2 + 6a(6) + 2a + 1 = -108 + 36a + 2a + 1 = 38a - 107$

まとめると、

$a < 0$ のとき、最小値は $2a + 1$

$0 \le a < 3$ のとき、最小値は $38a - 107$

$a = 3$ のとき、最小値は $7$

$3 < a \le 6$ のとき、最小値は $2a + 1$

$6 < a$ のとき、最小値は $38a - 107$

問題の形式に合わせると、以下のようになります。

$a < 0$ のとき、最小値は $2a+1$

$a = 3$ のとき、最小値は $7$

$6 < a$ のとき、最小値は $38a-107$

3. 最終的な答え

ア: 0

イ: 2a+1

ウ: 7

エ: 38a-107